Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100154 / 101688
↖ ↑ ↗
← S 69.952909°
E 95.081177°		 ← 104.70 m → S 69.952909°
E 95.083923°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.953850°
E 95.081177°		 ← 104.69 m →
10 959 m²		 S 69.953850°
E 95.083923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764118194580078 y=0.775821685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764118194580078 × 217)
    floor (0.764118194580078 × 131072)
    floor (100154.5)     		tx = 100154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775821685791016 × 217)
    floor (0.775821685791016 × 131072)
    floor (101688.5)     		ty = 101688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100154 / 101688 ti = "17/100154/101688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100154/101688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100154 ÷ 217
    100154 ÷ 131072     		x = 0.764114379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101688 ÷ 217
    101688 ÷ 131072     		y = 0.77581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764114379882812 × 2 - 1) × π
    0.528228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65947959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.5516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73301479506427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65947959} λ = 1.65947959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73301479506427))-π/2
    2×atan(0.176750738664748)-π/2
    2×0.174943875486414-π/2
    0.349887750972827-1.57079632675     		φ = -1.22090858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65947959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.081177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22090858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.952909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100154 KachelY 101688 1.65947959 -1.22090858 95.081177 -69.952909
    Oben rechts KachelX + 1 100155 KachelY 101688 1.65952753 -1.22090858 95.083923 -69.952909
    Unten links KachelX 100154 KachelY + 1 101689 1.65947959 -1.22092501 95.081177 -69.953850
    Unten rechts KachelX + 1 100155 KachelY + 1 101689 1.65952753 -1.22092501 95.083923 -69.953850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22090858--1.22092501) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22090858--1.22092501) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65947959-1.65952753) × cos(-1.22090858) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.342792357697479 × 6371000     		do = 104.697609516513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65947959-1.65952753) × cos(-1.22092501) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.342776923125224 × 6371000     		du = 104.692895400861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22090858)-sin(-1.22092501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342792357697479-0.342776923125224)×R²
    abs(1.65952753-1.65947959)×1.54345722550575e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54345722550575e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54345722550575e-05×40589641000000     		ar = 10959.0310399888m²