Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100150 / 101942
↖ ↑ ↗
← S 70.190688°
E 95.070190°		 ← 103.51 m → S 70.190688°
E 95.072937°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.191619°
E 95.070190°		 ← 103.50 m →
10 716 m²		 S 70.191619°
E 95.072937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764087677001953 y=0.777759552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764087677001953 × 217)
    floor (0.764087677001953 × 131072)
    floor (100150.5)     		tx = 100150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777759552001953 × 217)
    floor (0.777759552001953 × 131072)
    floor (101942.5)     		ty = 101942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100150 / 101942 ti = "17/100150/101942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100150/101942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100150 ÷ 217
    100150 ÷ 131072     		x = 0.764083862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101942 ÷ 217
    101942 ÷ 131072     		y = 0.777755737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764083862304688 × 2 - 1) × π
    0.528167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65928784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777755737304688 × 2 - 1) × π
    -0.555511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74519076756776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65928784} λ = 1.65928784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74519076756776))-π/2
    2×atan(0.174611675544705)-π/2
    2×0.172868856221945-π/2
    0.345737712443891-1.57079632675     		φ = -1.22505861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65928784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.070190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22505861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.190688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100150 KachelY 101942 1.65928784 -1.22505861 95.070190 -70.190688
    Oben rechts KachelX + 1 100151 KachelY 101942 1.65933578 -1.22505861 95.072937 -70.190688
    Unten links KachelX 100150 KachelY + 1 101943 1.65928784 -1.22507486 95.070190 -70.191619
    Unten rechts KachelX + 1 100151 KachelY + 1 101943 1.65933578 -1.22507486 95.072937 -70.191619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22505861--1.22507486) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22505861--1.22507486) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65928784-1.65933578) × cos(-1.22505861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		do = 103.50598324163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65928784-1.65933578) × cos(-1.22507486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338875543861333 × 6371000     		du = 103.501313751682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22505861)-sin(-1.22507486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338890832323753-0.338875543861333)×R²
    abs(1.65933578-1.65928784)×1.52884624202154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52884624202154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52884624202154e-05×40589641000000     		ar = 10715.60334962m²