Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10015 / 8096
↖ ↑ ↗
← N 66.930060°
W 69.971924°		 ← 478.68 m → N 66.930060°
W 69.960938°		 →
↑
478.72 m
↓
↑
478.72 m
↓
N 66.925755°
W 69.971924°		 ← 478.76 m →
229 172 m²		 N 66.925755°
W 69.960938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305648803710938 y=0.247085571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305648803710938 × 215)
    floor (0.305648803710938 × 32768)
    floor (10015.5)     		tx = 10015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247085571289062 × 215)
    floor (0.247085571289062 × 32768)
    floor (8096.5)     		ty = 8096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10015 / 8096 ti = "15/10015/8096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10015/8096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10015 ÷ 215
    10015 ÷ 32768     		x = 0.305633544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8096 ÷ 215
    8096 ÷ 32768     		y = 0.2470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.38873291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.22124045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2470703125 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5892040962041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22124045} λ = -1.22124045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5892040962041))-π/2
    2×atan(4.89984756869985)-π/2
    2×1.36947312342415-π/2
    2.7389462468483-1.57079632675     		φ = 1.16814992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22124045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16814992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.930060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10015 KachelY 8096 -1.22124045 1.16814992 -69.971924 66.930060
    Oben rechts KachelX + 1 10016 KachelY 8096 -1.22104871 1.16814992 -69.960938 66.930060
    Unten links KachelX 10015 KachelY + 1 8097 -1.22124045 1.16807478 -69.971924 66.925755
    Unten rechts KachelX + 1 10016 KachelY + 1 8097 -1.22104871 1.16807478 -69.960938 66.925755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16814992-1.16807478) × R
    7.51400000000846e-05 × 6371000     		dl = 478.716940000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16814992-1.16807478) × R
    7.51400000000846e-05 × 6371000     		dr = 478.716940000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22124045--1.22104871) × cos(1.16814992) × R
    0.000191739999999996 × 0.3918544778977 × 6371000     		do = 478.67984543929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22124045--1.22104871) × cos(1.16807478) × R
    0.000191739999999996 × 0.391923607636026 × 6371000     		du = 478.764292636717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16814992)-sin(1.16807478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3918544778977-0.391923607636026)×R²
    abs(-1.22104871--1.22124045)×6.91297383266787e-05×R²
    0.000191739999999996×6.91297383266787e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.91297383266787e-05×40589641000000     		ar = 229172.364107944m²