Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10015 / 2360
↖ ↑ ↗
← N 77.804771°
E 40.056152°		 ← 516.13 m → N 77.804771°
E 40.078125°		 →
↑
516.18 m
↓
↑
516.18 m
↓
N 77.800128°
E 40.056152°		 ← 516.32 m →
266 463 m²		 N 77.800128°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611297607421875 y=0.144073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611297607421875 × 214)
    floor (0.611297607421875 × 16384)
    floor (10015.5)     		tx = 10015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144073486328125 × 214)
    floor (0.144073486328125 × 16384)
    floor (2360.5)     		ty = 2360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10015 / 2360 ti = "14/10015/2360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10015/2360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10015 ÷ 214
    10015 ÷ 16384     		x = 0.61126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2360 ÷ 214
    2360 ÷ 16384     		y = 0.14404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61126708984375 × 2 - 1) × π
    0.2225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69911174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    0.7119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23654398867334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69911174} λ = 0.69911174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23654398867334))-π/2
    2×atan(9.36092386059167)-π/2
    2×1.46437287499428-π/2
    2.92874574998857-1.57079632675     		φ = 1.35794942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69911174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.056152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35794942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.804771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10015 KachelY 2360 0.69911174 1.35794942 40.056152 77.804771
    Oben rechts KachelX + 1 10016 KachelY 2360 0.69949524 1.35794942 40.078125 77.804771
    Unten links KachelX 10015 KachelY + 1 2361 0.69911174 1.35786840 40.056152 77.800128
    Unten rechts KachelX + 1 10016 KachelY + 1 2361 0.69949524 1.35786840 40.078125 77.800128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35794942-1.35786840) × R
    8.10199999998762e-05 × 6371000     		dl = 516.178419999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35794942-1.35786840) × R
    8.10199999998762e-05 × 6371000     		dr = 516.178419999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69911174-0.69949524) × cos(1.35794942) × R
    0.000383499999999981 × 0.211243414171206 × 6371000     		do = 516.126492111077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69911174-0.69949524) × cos(1.35786840) × R
    0.000383499999999981 × 0.211322605138846 × 6371000     		du = 516.319977699706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35794942)-sin(1.35786840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211243414171206-0.211322605138846)×R²
    abs(0.69949524-0.69911174)×7.91909676398916e-05×R²
    0.000383499999999981×7.91909676398916e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.91909676398916e-05×40589641000000     		ar = 266463.2939063m²