Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10015 / 10467
↖ ↑ ↗
← S 44.637391°
E 40.056152°		 ← 1 738.56 m → S 44.637391°
E 40.078125°		 →
↑
1 738.26 m
↓
↑
1 738.26 m
↓
S 44.653024°
E 40.056152°		 ← 1 738.09 m →
3 021 665 m²		 S 44.653024°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611297607421875 y=0.638885498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611297607421875 × 214)
    floor (0.611297607421875 × 16384)
    floor (10015.5)     		tx = 10015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638885498046875 × 214)
    floor (0.638885498046875 × 16384)
    floor (10467.5)     		ty = 10467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10015 / 10467 ti = "14/10015/10467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10015/10467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10015 ÷ 214
    10015 ÷ 16384     		x = 0.61126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10467 ÷ 214
    10467 ÷ 16384     		y = 0.63885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61126708984375 × 2 - 1) × π
    0.2225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69911174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63885498046875 × 2 - 1) × π
    -0.2777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.872451573085022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69911174} λ = 0.69911174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872451573085022))-π/2
    2×atan(0.417925716870887)-π/2
    2×0.395863440135265-π/2
    0.79172688027053-1.57079632675     		φ = -0.77906945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69911174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.056152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77906945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.637391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10015 KachelY 10467 0.69911174 -0.77906945 40.056152 -44.637391
    Oben rechts KachelX + 1 10016 KachelY 10467 0.69949524 -0.77906945 40.078125 -44.637391
    Unten links KachelX 10015 KachelY + 1 10468 0.69911174 -0.77934229 40.056152 -44.653024
    Unten rechts KachelX + 1 10016 KachelY + 1 10468 0.69949524 -0.77934229 40.078125 -44.653024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77906945--0.77934229) × R
    0.000272839999999941 × 6371000     		dl = 1738.26363999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77906945--0.77934229) × R
    0.000272839999999941 × 6371000     		dr = 1738.26363999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69911174-0.69949524) × cos(-0.77906945) × R
    0.000383499999999981 × 0.711567666783088 × 6371000     		do = 1738.5579815462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69911174-0.69949524) × cos(-0.77934229) × R
    0.000383499999999981 × 0.711375938121379 × 6371000     		du = 1738.08953502921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77906945)-sin(-0.77934229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711567666783088-0.711375938121379)×R²
    abs(0.69949524-0.69911174)×0.000191728661709911×R²
    0.000383499999999981×0.000191728661709911×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191728661709911×40589641000000     		ar = 3021665.00232388m²