Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100149 / 102034
↖ ↑ ↗
← S 70.276144°
E 95.067444°		 ← 103.06 m → S 70.276144°
E 95.070190°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.277071°
E 95.067444°		 ← 103.05 m →
10 623 m²		 S 70.277071°
E 95.070190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764080047607422 y=0.778461456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764080047607422 × 217)
    floor (0.764080047607422 × 131072)
    floor (100149.5)     		tx = 100149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778461456298828 × 217)
    floor (0.778461456298828 × 131072)
    floor (102034.5)     		ty = 102034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100149 / 102034 ti = "17/100149/102034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100149/102034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100149 ÷ 217
    100149 ÷ 131072     		x = 0.764076232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102034 ÷ 217
    102034 ÷ 131072     		y = 0.778457641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764076232910156 × 2 - 1) × π
    0.528152465820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65923991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778457641601562 × 2 - 1) × π
    -0.556915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74960096233281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65923991} λ = 1.65923991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74960096233281))-π/2
    2×atan(0.173843299636403)-π/2
    2×0.172123117409801-π/2
    0.344246234819601-1.57079632675     		φ = -1.22655009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65923991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.067444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22655009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.276144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100149 KachelY 102034 1.65923991 -1.22655009 95.067444 -70.276144
    Oben rechts KachelX + 1 100150 KachelY 102034 1.65928784 -1.22655009 95.070190 -70.276144
    Unten links KachelX 100149 KachelY + 1 102035 1.65923991 -1.22656627 95.067444 -70.277071
    Unten rechts KachelX + 1 100150 KachelY + 1 102035 1.65928784 -1.22656627 95.070190 -70.277071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22655009--1.22656627) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22655009--1.22656627) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65923991-1.65928784) × cos(-1.22655009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337487233190828 × 6371000     		do = 103.055786626298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65923991-1.65928784) × cos(-1.22656627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337472002425546 × 6371000     		du = 103.051135728893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22655009)-sin(-1.22656627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337487233190828-0.337472002425546)×R²
    abs(1.65928784-1.65923991)×1.5230765281371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5230765281371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5230765281371e-05×40589641000000     		ar = 10623.0372669475m²