Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100148 / 102036
↖ ↑ ↗
← S 70.277998°
E 95.064697°		 ← 103.07 m → S 70.277998°
E 95.067444°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.278924°
E 95.064697°		 ← 103.06 m →
10 618 m²		 S 70.278924°
E 95.067444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764072418212891 y=0.778476715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764072418212891 × 217)
    floor (0.764072418212891 × 131072)
    floor (100148.5)     		tx = 100148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778476715087891 × 217)
    floor (0.778476715087891 × 131072)
    floor (102036.5)     		ty = 102036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100148 / 102036 ti = "17/100148/102036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100148/102036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100148 ÷ 217
    100148 ÷ 131072     		x = 0.764068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102036 ÷ 217
    102036 ÷ 131072     		y = 0.778472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764068603515625 × 2 - 1) × π
    0.52813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65919197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.55694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74969683613205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65919197} λ = 1.65919197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74969683613205))-π/2
    2×atan(0.173826633417734)-π/2
    2×0.172106940048278-π/2
    0.344213880096555-1.57079632675     		φ = -1.22658245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65919197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22658245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.277998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100148 KachelY 102036 1.65919197 -1.22658245 95.064697 -70.277998
    Oben rechts KachelX + 1 100149 KachelY 102036 1.65923991 -1.22658245 95.067444 -70.277998
    Unten links KachelX 100148 KachelY + 1 102037 1.65919197 -1.22659862 95.064697 -70.278924
    Unten rechts KachelX + 1 100149 KachelY + 1 102037 1.65923991 -1.22659862 95.067444 -70.278924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22658245--1.22659862) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22658245--1.22659862) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65919197-1.65923991) × cos(-1.22658245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337456771571917 × 6371000     		do = 103.067984175296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65919197-1.65923991) × cos(-1.22659862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337441550043409 × 6371000     		du = 103.063335128688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22658245)-sin(-1.22659862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337456771571917-0.337441550043409)×R²
    abs(1.65923991-1.65919197)×1.52215285078028e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52215285078028e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52215285078028e-05×40589641000000     		ar = 10617.7284065241m²