Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100148 / 101973
↖ ↑ ↗
← S 70.219523°
E 95.064697°		 ← 103.36 m → S 70.219523°
E 95.067444°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
S 70.220452°
E 95.064697°		 ← 103.36 m →
10 681 m²		 S 70.220452°
E 95.067444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764072418212891 y=0.777996063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764072418212891 × 217)
    floor (0.764072418212891 × 131072)
    floor (100148.5)     		tx = 100148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777996063232422 × 217)
    floor (0.777996063232422 × 131072)
    floor (101973.5)     		ty = 101973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100148 / 101973 ti = "17/100148/101973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100148/101973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100148 ÷ 217
    100148 ÷ 131072     		x = 0.764068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101973 ÷ 217
    101973 ÷ 131072     		y = 0.777992248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764068603515625 × 2 - 1) × π
    0.52813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65919197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777992248535156 × 2 - 1) × π
    -0.555984497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74667681145599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65919197} λ = 1.65919197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74667681145599))-π/2
    2×atan(0.174352387635772)-π/2
    2×0.172617228852688-π/2
    0.345234457705377-1.57079632675     		φ = -1.22556187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65919197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22556187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.219523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100148 KachelY 101973 1.65919197 -1.22556187 95.064697 -70.219523
    Oben rechts KachelX + 1 100149 KachelY 101973 1.65923991 -1.22556187 95.067444 -70.219523
    Unten links KachelX 100148 KachelY + 1 101974 1.65919197 -1.22557809 95.064697 -70.220452
    Unten rechts KachelX + 1 100149 KachelY + 1 101974 1.65923991 -1.22557809 95.067444 -70.220452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22556187--1.22557809) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22556187--1.22557809) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65919197-1.65923991) × cos(-1.22556187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33841730948481 × 6371000     		do = 103.361357178139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65919197-1.65923991) × cos(-1.22557809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338402046482997 × 6371000     		du = 103.356695464516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22556187)-sin(-1.22557809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33841730948481-0.338402046482997)×R²
    abs(1.65923991-1.65919197)×1.52630018134259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52630018134259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52630018134259e-05×40589641000000     		ar = 10680.8757859536m²