Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100146 / 98546
↖ ↑ ↗
← S 66.776752°
E 95.059204°		 ← 120.41 m → S 66.776752°
E 95.061951°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.777835°
E 95.059204°		 ← 120.40 m →
14 506 m²		 S 66.777835°
E 95.061951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764057159423828 y=0.751850128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764057159423828 × 217)
    floor (0.764057159423828 × 131072)
    floor (100146.5)     		tx = 100146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751850128173828 × 217)
    floor (0.751850128173828 × 131072)
    floor (98546.5)     		ty = 98546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100146 / 98546 ti = "17/100146/98546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100146/98546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100146 ÷ 217
    100146 ÷ 131072     		x = 0.764053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98546 ÷ 217
    98546 ÷ 131072     		y = 0.751846313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764053344726562 × 2 - 1) × π
    0.528106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65909610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751846313476562 × 2 - 1) × π
    -0.503692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58239705645805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65909610} λ = 1.65909610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58239705645805))-π/2
    2×atan(0.205481955547058)-π/2
    2×0.20266107121872-π/2
    0.405322142437439-1.57079632675     		φ = -1.16547418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65909610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.059204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16547418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.776752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100146 KachelY 98546 1.65909610 -1.16547418 95.059204 -66.776752
    Oben rechts KachelX + 1 100147 KachelY 98546 1.65914403 -1.16547418 95.061951 -66.776752
    Unten links KachelX 100146 KachelY + 1 98547 1.65909610 -1.16549309 95.059204 -66.777835
    Unten rechts KachelX + 1 100147 KachelY + 1 98547 1.65914403 -1.16549309 95.061951 -66.777835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16547418--1.16549309) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16547418--1.16549309) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65909610-1.65914403) × cos(-1.16547418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394314825811739 × 6371000     		do = 120.408775669043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65909610-1.65914403) × cos(-1.16549309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394297447916092 × 6371000     		du = 120.403469119551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16547418)-sin(-1.16549309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394314825811739-0.394297447916092)×R²
    abs(1.65914403-1.65909610)×1.73778956469306e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73778956469306e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73778956469306e-05×40589641000000     		ar = 14506.0010438097m²