Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100145 / 98552
↖ ↑ ↗
← S 66.783249°
E 95.056458°		 ← 120.40 m → S 66.783249°
E 95.059204°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.784332°
E 95.056458°		 ← 120.40 m →
14 498 m²		 S 66.784332°
E 95.059204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764049530029297 y=0.751895904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764049530029297 × 217)
    floor (0.764049530029297 × 131072)
    floor (100145.5)     		tx = 100145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751895904541016 × 217)
    floor (0.751895904541016 × 131072)
    floor (98552.5)     		ty = 98552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100145 / 98552 ti = "17/100145/98552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100145/98552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100145 ÷ 217
    100145 ÷ 131072     		x = 0.764045715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98552 ÷ 217
    98552 ÷ 131072     		y = 0.75189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764045715332031 × 2 - 1) × π
    0.528091430664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.65904816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.5037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58268467785577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65904816} λ = 1.65904816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58268467785577))-π/2
    2×atan(0.205422863038339)-π/2
    2×0.202604372022357-π/2
    0.405208744044713-1.57079632675     		φ = -1.16558758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65904816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.056458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16558758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.783249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100145 KachelY 98552 1.65904816 -1.16558758 95.056458 -66.783249
    Oben rechts KachelX + 1 100146 KachelY 98552 1.65909610 -1.16558758 95.059204 -66.783249
    Unten links KachelX 100145 KachelY + 1 98553 1.65904816 -1.16560648 95.056458 -66.784332
    Unten rechts KachelX + 1 100146 KachelY + 1 98553 1.65909610 -1.16560648 95.059204 -66.784332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16558758--1.16560648) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16558758--1.16560648) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65904816-1.65909610) × cos(-1.16558758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394210611464249 × 6371000     		do = 120.402067722242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65904816-1.65909610) × cos(-1.16560648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394193241913442 × 6371000     		du = 120.396762614333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16558758)-sin(-1.16560648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394210611464249-0.394193241913442)×R²
    abs(1.65909610-1.65904816)×1.73695508070004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73695508070004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73695508070004e-05×40589641000000     		ar = 14497.5223396336m²