Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100144 / 98551
↖ ↑ ↗
← S 66.782167°
E 95.053711°		 ← 120.41 m → S 66.782167°
E 95.056458°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.783249°
E 95.053711°		 ← 120.40 m →
14 490 m²		 S 66.783249°
E 95.056458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764041900634766 y=0.751888275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764041900634766 × 217)
    floor (0.764041900634766 × 131072)
    floor (100144.5)     		tx = 100144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751888275146484 × 217)
    floor (0.751888275146484 × 131072)
    floor (98551.5)     		ty = 98551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100144 / 98551 ti = "17/100144/98551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100144/98551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100144 ÷ 217
    100144 ÷ 131072     		x = 0.7640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98551 ÷ 217
    98551 ÷ 131072     		y = 0.751884460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    0.528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65900022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751884460449219 × 2 - 1) × π
    -0.503768920898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58263674095615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65900022} λ = 1.65900022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58263674095615))-π/2
    2×atan(0.205432710609534)-π/2
    2×0.202613820847683-π/2
    0.405227641695367-1.57079632675     		φ = -1.16556869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65900022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16556869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.782167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100144 KachelY 98551 1.65900022 -1.16556869 95.053711 -66.782167
    Oben rechts KachelX + 1 100145 KachelY 98551 1.65904816 -1.16556869 95.056458 -66.782167
    Unten links KachelX 100144 KachelY + 1 98552 1.65900022 -1.16558758 95.053711 -66.783249
    Unten rechts KachelX + 1 100145 KachelY + 1 98552 1.65904816 -1.16558758 95.056458 -66.783249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16556869--1.16558758) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16556869--1.16558758) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65900022-1.65904816) × cos(-1.16556869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394227971684114 × 6371000     		do = 120.40736998024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65900022-1.65904816) × cos(-1.16558758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394210611464249 × 6371000     		du = 120.402067722242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16556869)-sin(-1.16558758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394227971684114-0.394210611464249)×R²
    abs(1.65904816-1.65900022)×1.73602198642597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73602198642597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73602198642597e-05×40589641000000     		ar = 14490.4899816079m²