Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100144 / 96688
↖ ↑ ↗
← S 64.680318°
E 95.053711°		 ← 130.62 m → S 64.680318°
E 95.056458°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
S 64.681493°
E 95.053711°		 ← 130.62 m →
17 059 m²		 S 64.681493°
E 95.056458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764041900634766 y=0.737674713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764041900634766 × 217)
    floor (0.764041900634766 × 131072)
    floor (100144.5)     		tx = 100144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737674713134766 × 217)
    floor (0.737674713134766 × 131072)
    floor (96688.5)     		ty = 96688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100144 / 96688 ti = "17/100144/96688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100144/96688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100144 ÷ 217
    100144 ÷ 131072     		x = 0.7640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96688 ÷ 217
    96688 ÷ 131072     		y = 0.7376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    0.528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65900022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.475341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49333029696399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65900022} λ = 1.65900022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49333029696399))-π/2
    2×atan(0.224623346072992)-π/2
    2×0.220955908812459-π/2
    0.441911817624918-1.57079632675     		φ = -1.12888451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65900022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12888451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.680318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100144 KachelY 96688 1.65900022 -1.12888451 95.053711 -64.680318
    Oben rechts KachelX + 1 100145 KachelY 96688 1.65904816 -1.12888451 95.056458 -64.680318
    Unten links KachelX 100144 KachelY + 1 96689 1.65900022 -1.12890501 95.053711 -64.681493
    Unten rechts KachelX + 1 100145 KachelY + 1 96689 1.65904816 -1.12890501 95.056458 -64.681493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12888451--1.12890501) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12888451--1.12890501) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65900022-1.65904816) × cos(-1.12888451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427668405023864 × 6371000     		do = 130.620939078948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65900022-1.65904816) × cos(-1.12890501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427649874252315 × 6371000     		du = 130.615279304335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12888451)-sin(-1.12890501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427668405023864-0.427649874252315)×R²
    abs(1.65904816-1.65900022)×1.8530771549341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8530771549341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8530771549341e-05×40589641000000     		ar = 17059.4434605597m²