Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100144 / 101712
↖ ↑ ↗
← S 69.975493°
E 95.053711°		 ← 104.58 m → S 69.975493°
E 95.056458°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
S 69.976433°
E 95.053711°		 ← 104.58 m →
10 934 m²		 S 69.976433°
E 95.056458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764041900634766 y=0.776004791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764041900634766 × 217)
    floor (0.764041900634766 × 131072)
    floor (100144.5)     		tx = 100144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776004791259766 × 217)
    floor (0.776004791259766 × 131072)
    floor (101712.5)     		ty = 101712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100144 / 101712 ti = "17/100144/101712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100144/101712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100144 ÷ 217
    100144 ÷ 131072     		x = 0.7640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101712 ÷ 217
    101712 ÷ 131072     		y = 0.7760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    0.528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65900022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73416528065515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65900022} λ = 1.65900022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73416528065515))-π/2
    2×atan(0.17654750641704)-π/2
    2×0.174746793175566-π/2
    0.349493586351132-1.57079632675     		φ = -1.22130274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65900022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22130274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.975493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100144 KachelY 101712 1.65900022 -1.22130274 95.053711 -69.975493
    Oben rechts KachelX + 1 100145 KachelY 101712 1.65904816 -1.22130274 95.056458 -69.975493
    Unten links KachelX 100144 KachelY + 1 101713 1.65900022 -1.22131915 95.053711 -69.976433
    Unten rechts KachelX + 1 100145 KachelY + 1 101713 1.65904816 -1.22131915 95.056458 -69.976433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22130274--1.22131915) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22130274--1.22131915) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65900022-1.65904816) × cos(-1.22130274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342422052760671 × 6371000     		do = 104.584508856678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65900022-1.65904816) × cos(-1.22131915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342406634760762 × 6371000     		du = 104.579799802647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22130274)-sin(-1.22131915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342422052760671-0.342406634760762)×R²
    abs(1.65904816-1.65900022)×1.54179999087289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54179999087289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54179999087289e-05×40589641000000     		ar = 10933.8665751237m²