Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100141 / 96728
↖ ↑ ↗
← S 64.727262°
E 95.045471°		 ← 130.39 m → S 64.727262°
E 95.048218°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.728435°
E 95.045471°		 ← 130.39 m →
17 005 m²		 S 64.728435°
E 95.048218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764019012451172 y=0.737979888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764019012451172 × 217)
    floor (0.764019012451172 × 131072)
    floor (100141.5)     		tx = 100141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737979888916016 × 217)
    floor (0.737979888916016 × 131072)
    floor (96728.5)     		ty = 96728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100141 / 96728 ti = "17/100141/96728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100141/96728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100141 ÷ 217
    100141 ÷ 131072     		x = 0.764015197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96728 ÷ 217
    96728 ÷ 131072     		y = 0.73797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764015197753906 × 2 - 1) × π
    0.528030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65885641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49524777294879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65885641} λ = 1.65885641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49524777294879))-π/2
    2×atan(0.224193048875382)-π/2
    2×0.22054624204473-π/2
    0.441092484089459-1.57079632675     		φ = -1.12970384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65885641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.045471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12970384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.727262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100141 KachelY 96728 1.65885641 -1.12970384 95.045471 -64.727262
    Oben rechts KachelX + 1 100142 KachelY 96728 1.65890435 -1.12970384 95.048218 -64.727262
    Unten links KachelX 100141 KachelY + 1 96729 1.65885641 -1.12972431 95.045471 -64.728435
    Unten rechts KachelX + 1 100142 KachelY + 1 96729 1.65890435 -1.12972431 95.048218 -64.728435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12970384--1.12972431) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dl = 130.414370001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12970384--1.12972431) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dr = 130.414370001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65885641-1.65890435) × cos(-1.12970384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426927639928923 × 6371000     		do = 130.394690351659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65885641-1.65890435) × cos(-1.12972431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426909129109354 × 6371000     		du = 130.389036670895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12970384)-sin(-1.12972431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426927639928923-0.426909129109354)×R²
    abs(1.65890435-1.65885641)×1.85108195689954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85108195689954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85108195689954e-05×40589641000000     		ar = 17004.9727337459m²