Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10014 / 8097
↖ ↑ ↗
← N 66.925755°
W 69.982910°		 ← 478.79 m → N 66.925755°
W 69.971924°		 →
↑
478.84 m
↓
↑
478.84 m
↓
N 66.921449°
W 69.982910°		 ← 478.87 m →
229 286 m²		 N 66.921449°
W 69.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305618286132812 y=0.247116088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305618286132812 × 215)
    floor (0.305618286132812 × 32768)
    floor (10014.5)     		tx = 10014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247116088867188 × 215)
    floor (0.247116088867188 × 32768)
    floor (8097.5)     		ty = 8097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10014 / 8097 ti = "15/10014/8097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10014/8097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10014 ÷ 215
    10014 ÷ 32768     		x = 0.30560302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8097 ÷ 215
    8097 ÷ 32768     		y = 0.247100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.3887939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.22143220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247100830078125 × 2 - 1) × π
    0.50579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58901234860562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22143220} λ = -1.22143220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58901234860562))-π/2
    2×atan(4.89890812476657)-π/2
    2×1.36943555153266-π/2
    2.73887110306532-1.57079632675     		φ = 1.16807478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22143220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16807478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.925755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10014 KachelY 8097 -1.22143220 1.16807478 -69.982910 66.925755
    Oben rechts KachelX + 1 10015 KachelY 8097 -1.22124045 1.16807478 -69.971924 66.925755
    Unten links KachelX 10014 KachelY + 1 8098 -1.22143220 1.16799962 -69.982910 66.921449
    Unten rechts KachelX + 1 10015 KachelY + 1 8098 -1.22124045 1.16799962 -69.971924 66.921449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16807478-1.16799962) × R
    7.5159999999963e-05 × 6371000     		dl = 478.844359999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16807478-1.16799962) × R
    7.5159999999963e-05 × 6371000     		dr = 478.844359999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22143220--1.22124045) × cos(1.16807478) × R
    0.000191749999999935 × 0.391923607636026 × 6371000     		do = 478.789262089607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22143220--1.22124045) × cos(1.16799962) × R
    0.000191749999999935 × 0.391992753560911 × 6371000     		du = 478.873733465424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16807478)-sin(1.16799962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391923607636026-0.391992753560911)×R²
    abs(-1.22124045--1.22143220)×6.9145924884384e-05×R²
    0.000191749999999935×6.9145924884384e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.9145924884384e-05×40589641000000     		ar = 229285.762208816m²