Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10014 / 10463
↖ ↑ ↗
← S 44.574818°
E 40.034180°		 ← 1 740.39 m → S 44.574818°
E 40.056152°		 →
↑
1 740.17 m
↓
↑
1 740.17 m
↓
S 44.590467°
E 40.034180°		 ← 1 739.92 m →
3 028 169 m²		 S 44.590467°
E 40.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611236572265625 y=0.638641357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611236572265625 × 214)
    floor (0.611236572265625 × 16384)
    floor (10014.5)     		tx = 10014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638641357421875 × 214)
    floor (0.638641357421875 × 16384)
    floor (10463.5)     		ty = 10463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10014 / 10463 ti = "14/10014/10463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10014/10463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10014 ÷ 214
    10014 ÷ 16384     		x = 0.6112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10463 ÷ 214
    10463 ÷ 16384     		y = 0.63861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6112060546875 × 2 - 1) × π
    0.222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69872825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.2772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87091759229718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69872825} λ = 0.69872825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87091759229718))-π/2
    2×atan(0.41856729885272)-π/2
    2×0.396409499812929-π/2
    0.792818999625858-1.57079632675     		φ = -0.77797733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69872825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77797733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.574818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10014 KachelY 10463 0.69872825 -0.77797733 40.034180 -44.574818
    Oben rechts KachelX + 1 10015 KachelY 10463 0.69911174 -0.77797733 40.056152 -44.574818
    Unten links KachelX 10014 KachelY + 1 10464 0.69872825 -0.77825047 40.034180 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 10015 KachelY + 1 10464 0.69911174 -0.77825047 40.056152 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77797733--0.77825047) × R
    0.000273140000000005 × 6371000     		dl = 1740.17494000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77797733--0.77825047) × R
    0.000273140000000005 × 6371000     		dr = 1740.17494000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69872825-0.69911174) × cos(-0.77797733) × R
    0.000383489999999931 × 0.712334584983077 × 6371000     		do = 1740.38639345885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69872825-0.69911174) × cos(-0.77825047) × R
    0.000383489999999931 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 1739.91796283166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77797733)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712334584983077-0.712142857825438)×R²
    abs(0.69911174-0.69872825)×0.000191727157638932×R²
    0.000383489999999931×0.000191727157638932×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191727157638932×40589641000000     		ar = 3028169.23102237m²