Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10014 / 10287
↖ ↑ ↗
← S 41.754922°
E 40.034180°		 ← 1 822.64 m → S 41.754922°
E 40.056152°		 →
↑
1 822.42 m
↓
↑
1 822.42 m
↓
S 41.771312°
E 40.034180°		 ← 1 822.17 m →
3 321 197 m²		 S 41.771312°
E 40.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611236572265625 y=0.627899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611236572265625 × 214)
    floor (0.611236572265625 × 16384)
    floor (10014.5)     		tx = 10014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627899169921875 × 214)
    floor (0.627899169921875 × 16384)
    floor (10287.5)     		ty = 10287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10014 / 10287 ti = "14/10014/10287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10014/10287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10014 ÷ 214
    10014 ÷ 16384     		x = 0.6112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10287 ÷ 214
    10287 ÷ 16384     		y = 0.62786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6112060546875 × 2 - 1) × π
    0.222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69872825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.803422437632141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69872825} λ = 0.69872825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803422437632141))-π/2
    2×atan(0.447793792274624)-π/2
    2×0.42101772803617-π/2
    0.842035456072341-1.57079632675     		φ = -0.72876087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69872825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72876087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.754922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10014 KachelY 10287 0.69872825 -0.72876087 40.034180 -41.754922
    Oben rechts KachelX + 1 10015 KachelY 10287 0.69911174 -0.72876087 40.056152 -41.754922
    Unten links KachelX 10014 KachelY + 1 10288 0.69872825 -0.72904692 40.034180 -41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 10015 KachelY + 1 10288 0.69911174 -0.72904692 40.056152 -41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72876087--0.72904692) × R
    0.000286050000000038 × 6371000     		dl = 1822.42455000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72876087--0.72904692) × R
    0.000286050000000038 × 6371000     		dr = 1822.42455000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69872825-0.69911174) × cos(-0.72876087) × R
    0.000383489999999931 × 0.746000168217831 × 6371000     		do = 1822.63864433196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69872825-0.69911174) × cos(-0.72904692) × R
    0.000383489999999931 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 1822.17315254119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72876087)-sin(-0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746000168217831-0.745809643916539)×R²
    abs(0.69911174-0.69872825)×0.000190524301292738×R²
    0.000383489999999931×0.000190524301292738×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190524301292738×40589641000000     		ar = 3321197.27202294m²