Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100139 / 96725
↖ ↑ ↗
← S 64.723744°
E 95.039978°		 ← 130.38 m → S 64.723744°
E 95.042724°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.724917°
E 95.039978°		 ← 130.38 m →
17 004 m²		 S 64.724917°
E 95.042724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764003753662109 y=0.737957000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764003753662109 × 217)
    floor (0.764003753662109 × 131072)
    floor (100139.5)     		tx = 100139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737957000732422 × 217)
    floor (0.737957000732422 × 131072)
    floor (96725.5)     		ty = 96725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100139 / 96725 ti = "17/100139/96725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100139/96725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100139 ÷ 217
    100139 ÷ 131072     		x = 0.763999938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96725 ÷ 217
    96725 ÷ 131072     		y = 0.737953186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763999938964844 × 2 - 1) × π
    0.527999877929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.65876054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737953186035156 × 2 - 1) × π
    -0.475906372070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.49510396224993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65876054} λ = 1.65876054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49510396224993))-π/2
    2×atan(0.224225292552858)-π/2
    2×0.220576942421852-π/2
    0.441153884843703-1.57079632675     		φ = -1.12964244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65876054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.039978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12964244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.723744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100139 KachelY 96725 1.65876054 -1.12964244 95.039978 -64.723744
    Oben rechts KachelX + 1 100140 KachelY 96725 1.65880847 -1.12964244 95.042724 -64.723744
    Unten links KachelX 100139 KachelY + 1 96726 1.65876054 -1.12966291 95.039978 -64.724917
    Unten rechts KachelX + 1 100140 KachelY + 1 96726 1.65880847 -1.12966291 95.042724 -64.724917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12964244--1.12966291) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12964244--1.12966291) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65876054-1.65880847) × cos(-1.12964244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.426983162271654 × 6371000     		do = 130.384445207171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65876054-1.65880847) × cos(-1.12966291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.426964651988695 × 6371000     		du = 130.378792869591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12964244)-sin(-1.12966291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426983162271654-0.426964651988695)×R²
    abs(1.65880847-1.65876054)×1.85102829581285e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85102829581285e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85102829581285e-05×40589641000000     		ar = 17003.6367070665m²