Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100138 / 96724
↖ ↑ ↗
← S 64.722571°
E 95.037231°		 ← 130.42 m → S 64.722571°
E 95.039978°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.723744°
E 95.037231°		 ← 130.41 m →
17 008 m²		 S 64.723744°
E 95.039978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763996124267578 y=0.737949371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763996124267578 × 217)
    floor (0.763996124267578 × 131072)
    floor (100138.5)     		tx = 100138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737949371337891 × 217)
    floor (0.737949371337891 × 131072)
    floor (96724.5)     		ty = 96724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100138 / 96724 ti = "17/100138/96724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100138/96724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100138 ÷ 217
    100138 ÷ 131072     		x = 0.763992309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96724 ÷ 217
    96724 ÷ 131072     		y = 0.737945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763992309570312 × 2 - 1) × π
    0.527984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65871260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.47589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49505602535031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65871260} λ = 1.65871260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49505602535031))-π/2
    2×atan(0.224236041475832)-π/2
    2×0.220587176768118-π/2
    0.441174353536236-1.57079632675     		φ = -1.12962197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65871260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.037231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12962197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.722571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100138 KachelY 96724 1.65871260 -1.12962197 95.037231 -64.722571
    Oben rechts KachelX + 1 100139 KachelY 96724 1.65876054 -1.12962197 95.039978 -64.722571
    Unten links KachelX 100138 KachelY + 1 96725 1.65871260 -1.12964244 95.037231 -64.723744
    Unten rechts KachelX + 1 100139 KachelY + 1 96725 1.65876054 -1.12964244 95.039978 -64.723744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12962197--1.12964244) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12962197--1.12964244) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65871260-1.65876054) × cos(-1.12962197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427001672375697 × 6371000     		do = 130.417301766499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65871260-1.65876054) × cos(-1.12964244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426983162271654 × 6371000     		du = 130.411648304274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12962197)-sin(-1.12964244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427001672375697-0.426983162271654)×R²
    abs(1.65876054-1.65871260)×1.85101040432456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85101040432456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85101040432456e-05×40589641000000     		ar = 17007.9216012659m²