Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100138 / 101688
↖ ↑ ↗
← S 69.952909°
E 95.037231°		 ← 104.70 m → S 69.952909°
E 95.039978°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
S 69.953850°
E 95.037231°		 ← 104.69 m →
10 959 m²		 S 69.953850°
E 95.039978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763996124267578 y=0.775821685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763996124267578 × 217)
    floor (0.763996124267578 × 131072)
    floor (100138.5)     		tx = 100138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775821685791016 × 217)
    floor (0.775821685791016 × 131072)
    floor (101688.5)     		ty = 101688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100138 / 101688 ti = "17/100138/101688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100138/101688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100138 ÷ 217
    100138 ÷ 131072     		x = 0.763992309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101688 ÷ 217
    101688 ÷ 131072     		y = 0.77581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763992309570312 × 2 - 1) × π
    0.527984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65871260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.5516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73301479506427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65871260} λ = 1.65871260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73301479506427))-π/2
    2×atan(0.176750738664748)-π/2
    2×0.174943875486414-π/2
    0.349887750972827-1.57079632675     		φ = -1.22090858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65871260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.037231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22090858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.952909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100138 KachelY 101688 1.65871260 -1.22090858 95.037231 -69.952909
    Oben rechts KachelX + 1 100139 KachelY 101688 1.65876054 -1.22090858 95.039978 -69.952909
    Unten links KachelX 100138 KachelY + 1 101689 1.65871260 -1.22092501 95.037231 -69.953850
    Unten rechts KachelX + 1 100139 KachelY + 1 101689 1.65876054 -1.22092501 95.039978 -69.953850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22090858--1.22092501) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22090858--1.22092501) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65871260-1.65876054) × cos(-1.22090858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342792357697479 × 6371000     		do = 104.697609516029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65871260-1.65876054) × cos(-1.22092501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342776923125224 × 6371000     		du = 104.692895400376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22090858)-sin(-1.22092501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342792357697479-0.342776923125224)×R²
    abs(1.65876054-1.65871260)×1.54345722550575e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54345722550575e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54345722550575e-05×40589641000000     		ar = 10959.031039938m²