Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100137 / 96723
↖ ↑ ↗
← S 64.721398°
E 95.034485°		 ← 130.42 m → S 64.721398°
E 95.037231°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.722571°
E 95.034485°		 ← 130.42 m →
17 009 m²		 S 64.722571°
E 95.037231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763988494873047 y=0.737941741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763988494873047 × 217)
    floor (0.763988494873047 × 131072)
    floor (100137.5)     		tx = 100137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737941741943359 × 217)
    floor (0.737941741943359 × 131072)
    floor (96723.5)     		ty = 96723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100137 / 96723 ti = "17/100137/96723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100137/96723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100137 ÷ 217
    100137 ÷ 131072     		x = 0.763984680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96723 ÷ 217
    96723 ÷ 131072     		y = 0.737937927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763984680175781 × 2 - 1) × π
    0.527969360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.65866466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737937927246094 × 2 - 1) × π
    -0.475875854492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.49500808845069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65866466} λ = 1.65866466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49500808845069))-π/2
    2×atan(0.224246790914089)-π/2
    2×0.220597411558022-π/2
    0.441194823116043-1.57079632675     		φ = -1.12960150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65866466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.034485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12960150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.721398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100137 KachelY 96723 1.65866466 -1.12960150 95.034485 -64.721398
    Oben rechts KachelX + 1 100138 KachelY 96723 1.65871260 -1.12960150 95.037231 -64.721398
    Unten links KachelX 100137 KachelY + 1 96724 1.65866466 -1.12962197 95.034485 -64.722571
    Unten rechts KachelX + 1 100138 KachelY + 1 96724 1.65871260 -1.12962197 95.037231 -64.722571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12960150--1.12962197) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dl = 130.414370001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12960150--1.12962197) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dr = 130.414370001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65866466-1.65871260) × cos(-1.12960150) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.427020182300818 × 6371000     		do = 130.422955174681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65866466-1.65871260) × cos(-1.12962197) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.427001672375697 × 6371000     		du = 130.417301767103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12960150)-sin(-1.12962197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427020182300818-0.427001672375697)×R²
    abs(1.65871260-1.65866466)×1.85099251208132e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85099251208132e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85099251208132e-05×40589641000000     		ar = 17008.6588905423m²