Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100136 / 96779
↖ ↑ ↗
← S 64.786998°
E 95.031738°		 ← 130.08 m → S 64.786998°
E 95.034485°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
S 64.788168°
E 95.031738°		 ← 130.07 m →
16 922 m²		 S 64.788168°
E 95.034485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763980865478516 y=0.738368988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763980865478516 × 217)
    floor (0.763980865478516 × 131072)
    floor (100136.5)     		tx = 100136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738368988037109 × 217)
    floor (0.738368988037109 × 131072)
    floor (96779.5)     		ty = 96779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100136 / 96779 ti = "17/100136/96779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100136/96779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100136 ÷ 217
    100136 ÷ 131072     		x = 0.76397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96779 ÷ 217
    96779 ÷ 131072     		y = 0.738365173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    0.5279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65861673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738365173339844 × 2 - 1) × π
    -0.476730346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.49769255482941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65861673} λ = 1.65861673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49769255482941))-π/2
    2×atan(0.223645615222334)-π/2
    2×0.22002494611113-π/2
    0.44004989222226-1.57079632675     		φ = -1.13074643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65861673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13074643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.786998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100136 KachelY 96779 1.65861673 -1.13074643 95.031738 -64.786998
    Oben rechts KachelX + 1 100137 KachelY 96779 1.65866466 -1.13074643 95.034485 -64.786998
    Unten links KachelX 100136 KachelY + 1 96780 1.65861673 -1.13076685 95.031738 -64.788168
    Unten rechts KachelX + 1 100137 KachelY + 1 96780 1.65866466 -1.13076685 95.034485 -64.788168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13074643--1.13076685) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13074643--1.13076685) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65861673-1.65866466) × cos(-1.13074643) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.425984608743924 × 6371000     		do = 130.079524874277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65861673-1.65866466) × cos(-1.13076685) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.425966134060159 × 6371000     		du = 130.073883407339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13074643)-sin(-1.13076685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425984608743924-0.425966134060159)×R²
    abs(1.65866466-1.65861673)×1.84746837649241e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.84746837649241e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.84746837649241e-05×40589641000000     		ar = 16922.4354888089m²