Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100134 / 97048
↖ ↑ ↗
← S 65.099898°
E 95.026245°		 ← 128.60 m → S 65.099898°
E 95.028992°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.101055°
E 95.026245°		 ← 128.59 m →
16 533 m²		 S 65.101055°
E 95.028992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763965606689453 y=0.740421295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763965606689453 × 217)
    floor (0.763965606689453 × 131072)
    floor (100134.5)     		tx = 100134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740421295166016 × 217)
    floor (0.740421295166016 × 131072)
    floor (97048.5)     		ty = 97048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100134 / 97048 ti = "17/100134/97048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100134/97048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100134 ÷ 217
    100134 ÷ 131072     		x = 0.763961791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97048 ÷ 217
    97048 ÷ 131072     		y = 0.74041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763961791992188 × 2 - 1) × π
    0.527923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65852085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.4808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51058758082721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65852085} λ = 1.65852085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51058758082721))-π/2
    2×atan(0.220780213619043)-π/2
    2×0.217294377617468-π/2
    0.434588755234937-1.57079632675     		φ = -1.13620757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65852085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.026245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13620757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.099898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100134 KachelY 97048 1.65852085 -1.13620757 95.026245 -65.099898
    Oben rechts KachelX + 1 100135 KachelY 97048 1.65856879 -1.13620757 95.028992 -65.099898
    Unten links KachelX 100134 KachelY + 1 97049 1.65852085 -1.13622775 95.026245 -65.101055
    Unten rechts KachelX + 1 100135 KachelY + 1 97049 1.65856879 -1.13622775 95.028992 -65.101055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13620757--1.13622775) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13620757--1.13622775) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65852085-1.65856879) × cos(-1.13620757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421037421599684 × 6371000     		do = 128.595666059691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65852085-1.65856879) × cos(-1.13622775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421019117380812 × 6371000     		du = 128.590075480097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13620757)-sin(-1.13622775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421037421599684-0.421019117380812)×R²
    abs(1.65856879-1.65852085)×1.83042188723892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83042188723892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83042188723892e-05×40589641000000     		ar = 16532.7713262128m²