Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100133 / 101724
↖ ↑ ↗
← S 69.986775°
E 95.023499°		 ← 104.51 m → S 69.986775°
E 95.026245°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
S 69.987715°
E 95.023499°		 ← 104.50 m →
10 926 m²		 S 69.987715°
E 95.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763957977294922 y=0.776096343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763957977294922 × 217)
    floor (0.763957977294922 × 131072)
    floor (100133.5)     		tx = 100133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776096343994141 × 217)
    floor (0.776096343994141 × 131072)
    floor (101724.5)     		ty = 101724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100133 / 101724 ti = "17/100133/101724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100133/101724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100133 ÷ 217
    100133 ÷ 131072     		x = 0.763954162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101724 ÷ 217
    101724 ÷ 131072     		y = 0.776092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763954162597656 × 2 - 1) × π
    0.527908325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65847292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.55218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73474052345059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65847292} λ = 1.65847292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73474052345059))-π/2
    2×atan(0.176445977940482)-π/2
    2×0.174648331876845-π/2
    0.349296663753691-1.57079632675     		φ = -1.22149966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65847292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.023499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22149966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.986775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100133 KachelY 101724 1.65847292 -1.22149966 95.023499 -69.986775
    Oben rechts KachelX + 1 100134 KachelY 101724 1.65852085 -1.22149966 95.026245 -69.986775
    Unten links KachelX 100133 KachelY + 1 101725 1.65847292 -1.22151607 95.023499 -69.987715
    Unten rechts KachelX + 1 100134 KachelY + 1 101725 1.65852085 -1.22151607 95.026245 -69.987715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22149966--1.22151607) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22149966--1.22151607) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65847292-1.65852085) × cos(-1.22149966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		do = 104.50619442879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65847292-1.65852085) × cos(-1.22151607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342221611570974 × 6371000     		du = 104.501486019248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22149966)-sin(-1.22151607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342237030677081-0.342221611570974)×R²
    abs(1.65852085-1.65847292)×1.54191061070841e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54191061070841e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54191061070841e-05×40589641000000     		ar = 10925.678983337m²