Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100131 / 102116
↖ ↑ ↗
← S 70.352012°
E 95.018005°		 ← 102.70 m → S 70.352012°
E 95.020752°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.352935°
E 95.018005°		 ← 102.69 m →
10 547 m²		 S 70.352935°
E 95.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763942718505859 y=0.779087066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763942718505859 × 217)
    floor (0.763942718505859 × 131072)
    floor (100131.5)     		tx = 100131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779087066650391 × 217)
    floor (0.779087066650391 × 131072)
    floor (102116.5)     		ty = 102116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100131 / 102116 ti = "17/100131/102116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100131/102116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100131 ÷ 217
    100131 ÷ 131072     		x = 0.763938903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102116 ÷ 217
    102116 ÷ 131072     		y = 0.779083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763938903808594 × 2 - 1) × π
    0.527877807617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65837704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.55816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75353178810165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65837704} λ = 1.65837704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75353178810165))-π/2
    2×atan(0.173161293216818)-π/2
    2×0.17146104151458-π/2
    0.342922083029161-1.57079632675     		φ = -1.22787424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65837704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.018005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22787424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.352012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100131 KachelY 102116 1.65837704 -1.22787424 95.018005 -70.352012
    Oben rechts KachelX + 1 100132 KachelY 102116 1.65842498 -1.22787424 95.020752 -70.352012
    Unten links KachelX 100131 KachelY + 1 102117 1.65837704 -1.22789036 95.018005 -70.352935
    Unten rechts KachelX + 1 100132 KachelY + 1 102117 1.65842498 -1.22789036 95.020752 -70.352935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22787424--1.22789036) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22787424--1.22789036) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65837704-1.65842498) × cos(-1.22787424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336240475425448 × 6371000     		do = 102.696496024702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65837704-1.65842498) × cos(-1.22789036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336225293950002 × 6371000     		du = 102.691859211329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22787424)-sin(-1.22789036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336240475425448-0.336225293950002)×R²
    abs(1.65842498-1.65837704)×1.51814754463797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51814754463797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51814754463797e-05×40589641000000     		ar = 10546.7454424151m²