Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100131 / 102115
↖ ↑ ↗
← S 70.351089°
E 95.018005°		 ← 102.70 m → S 70.351089°
E 95.020752°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.352012°
E 95.018005°		 ← 102.70 m →
10 541 m²		 S 70.352012°
E 95.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763942718505859 y=0.779079437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763942718505859 × 217)
    floor (0.763942718505859 × 131072)
    floor (100131.5)     		tx = 100131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779079437255859 × 217)
    floor (0.779079437255859 × 131072)
    floor (102115.5)     		ty = 102115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100131 / 102115 ti = "17/100131/102115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100131/102115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100131 ÷ 217
    100131 ÷ 131072     		x = 0.763938903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102115 ÷ 217
    102115 ÷ 131072     		y = 0.779075622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763938903808594 × 2 - 1) × π
    0.527877807617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65837704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779075622558594 × 2 - 1) × π
    -0.558151245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.75348385120203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65837704} λ = 1.65837704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75348385120203))-π/2
    2×atan(0.17316959423131)-π/2
    2×0.171469100859376-π/2
    0.342938201718752-1.57079632675     		φ = -1.22785813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65837704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.018005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22785813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.351089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100131 KachelY 102115 1.65837704 -1.22785813 95.018005 -70.351089
    Oben rechts KachelX + 1 100132 KachelY 102115 1.65842498 -1.22785813 95.020752 -70.351089
    Unten links KachelX 100131 KachelY + 1 102116 1.65837704 -1.22787424 95.018005 -70.352012
    Unten rechts KachelX + 1 100132 KachelY + 1 102116 1.65842498 -1.22787424 95.020752 -70.352012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22785813--1.22787424) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22785813--1.22787424) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65837704-1.65842498) × cos(-1.22785813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336255647395813 × 6371000     		do = 102.701129934978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65837704-1.65842498) × cos(-1.22787424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336240475425448 × 6371000     		du = 102.696496024702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22785813)-sin(-1.22787424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336255647395813-0.336240475425448)×R²
    abs(1.65842498-1.65837704)×1.51719703654352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51719703654352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51719703654352e-05×40589641000000     		ar = 10540.6785552467m²