Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100130 / 101793
↖ ↑ ↗
← S 70.051533°
E 95.015259°		 ← 104.18 m → S 70.051533°
E 95.018005°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.052471°
E 95.015259°		 ← 104.18 m →
10 859 m²		 S 70.052471°
E 95.018005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763935089111328 y=0.776622772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763935089111328 × 217)
    floor (0.763935089111328 × 131072)
    floor (100130.5)     		tx = 100130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776622772216797 × 217)
    floor (0.776622772216797 × 131072)
    floor (101793.5)     		ty = 101793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100130 / 101793 ti = "17/100130/101793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100130/101793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100130 ÷ 217
    100130 ÷ 131072     		x = 0.763931274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101793 ÷ 217
    101793 ÷ 131072     		y = 0.776618957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763931274414062 × 2 - 1) × π
    0.527862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65832911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776618957519531 × 2 - 1) × π
    -0.553237915039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73804816952438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65832911} λ = 1.65832911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73804816952438))-π/2
    2×atan(0.175863321236606)-π/2
    2×0.174083211143661-π/2
    0.348166422287322-1.57079632675     		φ = -1.22262990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65832911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.015259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22262990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.051533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100130 KachelY 101793 1.65832911 -1.22262990 95.015259 -70.051533
    Oben rechts KachelX + 1 100131 KachelY 101793 1.65837704 -1.22262990 95.018005 -70.051533
    Unten links KachelX 100130 KachelY + 1 101794 1.65832911 -1.22264626 95.015259 -70.052471
    Unten rechts KachelX + 1 100131 KachelY + 1 101794 1.65837704 -1.22264626 95.018005 -70.052471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22262990--1.22264626) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22262990--1.22264626) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65832911-1.65837704) × cos(-1.22262990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341174823375231 × 6371000     		do = 104.181836650816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65832911-1.65837704) × cos(-1.22264626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		du = 104.177140658123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22262990)-sin(-1.22264626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341174823375231-0.341159444931838)×R²
    abs(1.65837704-1.65832911)×1.53784433935544e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53784433935544e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53784433935544e-05×40589641000000     		ar = 10858.5822636588m²