Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10013 / 6940
↖ ↑ ↗
← N 71.427179°
W 69.993896°		 ← 389.10 m → N 71.427179°
W 69.982910°		 →
↑
389.14 m
↓
↑
389.14 m
↓
N 71.423679°
W 69.993896°		 ← 389.17 m →
151 430 m²		 N 71.423679°
W 69.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305587768554688 y=0.211807250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305587768554688 × 215)
    floor (0.305587768554688 × 32768)
    floor (10013.5)     		tx = 10013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211807250976562 × 215)
    floor (0.211807250976562 × 32768)
    floor (6940.5)     		ty = 6940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10013 / 6940 ti = "15/10013/6940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10013/6940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10013 ÷ 215
    10013 ÷ 32768     		x = 0.305572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6940 ÷ 215
    6940 ÷ 32768     		y = 0.2117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.38885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22162395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2117919921875 × 2 - 1) × π
    0.576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81086432004724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22162395} λ = -1.22162395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81086432004724))-π/2
    2×atan(6.11573109750388)-π/2
    2×1.40871788726839-π/2
    2.81743577453677-1.57079632675     		φ = 1.24663945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22162395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.993896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24663945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.427179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10013 KachelY 6940 -1.22162395 1.24663945 -69.993896 71.427179
    Oben rechts KachelX + 1 10014 KachelY 6940 -1.22143220 1.24663945 -69.982910 71.427179
    Unten links KachelX 10013 KachelY + 1 6941 -1.22162395 1.24657837 -69.993896 71.423679
    Unten rechts KachelX + 1 10014 KachelY + 1 6941 -1.22143220 1.24657837 -69.982910 71.423679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24663945-1.24657837) × R
    6.10800000000467e-05 × 6371000     		dl = 389.140680000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24663945-1.24657837) × R
    6.10800000000467e-05 × 6371000     		dr = 389.140680000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22162395--1.22143220) × cos(1.24663945) × R
    0.000191749999999935 × 0.318509686142494 × 6371000     		do = 389.10393409672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22162395--1.22143220) × cos(1.24657837) × R
    0.000191749999999935 × 0.318567584477863 × 6371000     		du = 389.174664975716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24663945)-sin(1.24657837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318509686142494-0.318567584477863)×R²
    abs(-1.22143220--1.22162395)×5.78983353685669e-05×R²
    0.000191749999999935×5.78983353685669e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.78983353685669e-05×40589641000000     		ar = 151429.931683271m²