Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10013 / 10479
↖ ↑ ↗
← S 44.824709°
E 40.012207°		 ← 1 732.94 m → S 44.824709°
E 40.034180°		 →
↑
1 732.66 m
↓
↑
1 732.66 m
↓
S 44.840291°
E 40.012207°		 ← 1 732.47 m →
3 002 179 m²		 S 44.840291°
E 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611175537109375 y=0.639617919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611175537109375 × 214)
    floor (0.611175537109375 × 16384)
    floor (10013.5)     		tx = 10013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639617919921875 × 214)
    floor (0.639617919921875 × 16384)
    floor (10479.5)     		ty = 10479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10013 / 10479 ti = "14/10013/10479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10013/10479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10013 ÷ 214
    10013 ÷ 16384     		x = 0.61114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10479 ÷ 214
    10479 ÷ 16384     		y = 0.63958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61114501953125 × 2 - 1) × π
    0.2222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69834475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69834475} λ = 0.69834475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877053515448547))-π/2
    2×atan(0.416006865417939)-π/2
    2×0.394228790520283-π/2
    0.788457581040566-1.57079632675     		φ = -0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69834475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10013 KachelY 10479 0.69834475 -0.78233875 40.012207 -44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 10014 KachelY 10479 0.69872825 -0.78233875 40.034180 -44.824709
    Unten links KachelX 10013 KachelY + 1 10480 0.69834475 -0.78261071 40.012207 -44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 10014 KachelY + 1 10480 0.69872825 -0.78261071 40.034180 -44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78233875--0.78261071) × R
    0.000271960000000071 × 6371000     		dl = 1732.65716000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78233875--0.78261071) × R
    0.000271960000000071 × 6371000     		dr = 1732.65716000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69834475-0.69872825) × cos(-0.78233875) × R
    0.000383500000000092 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 1732.93632445206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69834475-0.69872825) × cos(-0.78261071) × R
    0.000383500000000092 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 1732.4678459604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78233875)-sin(-0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.709075058762226)×R²
    abs(0.69872825-0.69834475)×0.000191741748500784×R²
    0.000383500000000092×0.000191741748500784×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191741748500784×40589641000000     		ar = 3002178.69258394m²