Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10013 / 10478
↖ ↑ ↗
← S 44.809122°
E 40.012207°		 ← 1 733.40 m → S 44.809122°
E 40.034180°		 →
↑
1 733.17 m
↓
↑
1 733.17 m
↓
S 44.824709°
E 40.012207°		 ← 1 732.94 m →
3 003 874 m²		 S 44.824709°
E 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611175537109375 y=0.639556884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611175537109375 × 214)
    floor (0.611175537109375 × 16384)
    floor (10013.5)     		tx = 10013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639556884765625 × 214)
    floor (0.639556884765625 × 16384)
    floor (10478.5)     		ty = 10478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10013 / 10478 ti = "14/10013/10478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10013/10478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10013 ÷ 214
    10013 ÷ 16384     		x = 0.61114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10478 ÷ 214
    10478 ÷ 16384     		y = 0.6395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61114501953125 × 2 - 1) × π
    0.2222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69834475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69834475} λ = 0.69834475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876670020251587))-π/2
    2×atan(0.416166432647406)-π/2
    2×0.394364809109742-π/2
    0.788729618219484-1.57079632675     		φ = -0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69834475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10013 KachelY 10478 0.69834475 -0.78206671 40.012207 -44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 10014 KachelY 10478 0.69872825 -0.78206671 40.034180 -44.809122
    Unten links KachelX 10013 KachelY + 1 10479 0.69834475 -0.78233875 40.012207 -44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 10014 KachelY + 1 10479 0.69872825 -0.78233875 40.034180 -44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78206671--0.78233875) × R
    0.000272039999999918 × 6371000     		dl = 1733.16683999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78206671--0.78233875) × R
    0.000272039999999918 × 6371000     		dr = 1733.16683999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69834475-0.69872825) × cos(-0.78206671) × R
    0.000383500000000092 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 1733.40481252337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69834475-0.69872825) × cos(-0.78233875) × R
    0.000383500000000092 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 1732.93632445206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78206671)-sin(-0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.709266800510727)×R²
    abs(0.69872825-0.69834475)×0.000191745669314236×R²
    0.000383500000000092×0.000191745669314236×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191745669314236×40589641000000     		ar = 3003873.7758905m²