Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100128 / 101856
↖ ↑ ↗
← S 70.110485°
E 95.009766°		 ← 103.91 m → S 70.110485°
E 95.012512°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.111419°
E 95.009766°		 ← 103.90 m →
10 797 m²		 S 70.111419°
E 95.012512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763919830322266 y=0.777103424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763919830322266 × 217)
    floor (0.763919830322266 × 131072)
    floor (100128.5)     		tx = 100128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777103424072266 × 217)
    floor (0.777103424072266 × 131072)
    floor (101856.5)     		ty = 101856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100128 / 101856 ti = "17/100128/101856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100128/101856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100128 ÷ 217
    100128 ÷ 131072     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101856 ÷ 217
    101856 ÷ 131072     		y = 0.777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.55419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74106819420044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74106819420044))-π/2
    2×atan(0.175333010845151)-π/2
    2×0.173568763606483-π/2
    0.347137527212967-1.57079632675     		φ = -1.22365880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22365880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.110485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100128 KachelY 101856 1.65823323 -1.22365880 95.009766 -70.110485
    Oben rechts KachelX + 1 100129 KachelY 101856 1.65828117 -1.22365880 95.012512 -70.110485
    Unten links KachelX 100128 KachelY + 1 101857 1.65823323 -1.22367511 95.009766 -70.111419
    Unten rechts KachelX + 1 100129 KachelY + 1 101857 1.65828117 -1.22367511 95.012512 -70.111419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22365880--1.22367511) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dl = 103.911010000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22365880--1.22367511) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dr = 103.911010000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65828117) × cos(-1.22365880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340207477098405 × 6371000     		do = 103.908120446245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65828117) × cos(-1.22367511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340192139938151 × 6371000     		du = 103.903436082725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22365880)-sin(-1.22367511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340207477098405-0.340192139938151)×R²
    abs(1.65828117-1.65823323)×1.5337160254203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5337160254203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5337160254203e-05×40589641000000     		ar = 10796.954364488m²