Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100127 / 99937
↖ ↑ ↗
← S 68.237841°
E 95.007019°		 ← 113.24 m → S 68.237841°
E 95.009766°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.238859°
E 95.007019°		 ← 113.23 m →
12 820 m²		 S 68.238859°
E 95.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763912200927734 y=0.762462615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763912200927734 × 217)
    floor (0.763912200927734 × 131072)
    floor (100127.5)     		tx = 100127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762462615966797 × 217)
    floor (0.762462615966797 × 131072)
    floor (99937.5)     		ty = 99937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100127 / 99937 ti = "17/100127/99937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100127/99937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100127 ÷ 217
    100127 ÷ 131072     		x = 0.763908386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99937 ÷ 217
    99937 ÷ 131072     		y = 0.762458801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763908386230469 × 2 - 1) × π
    0.527816772460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65818529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762458801269531 × 2 - 1) × π
    -0.524917602539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64907728382955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65818529} λ = 1.65818529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64907728382955))-π/2
    2×atan(0.192227197958262)-π/2
    2×0.189910663107885-π/2
    0.379821326215771-1.57079632675     		φ = -1.19097500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65818529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.007019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19097500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.237841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100127 KachelY 99937 1.65818529 -1.19097500 95.007019 -68.237841
    Oben rechts KachelX + 1 100128 KachelY 99937 1.65823323 -1.19097500 95.009766 -68.237841
    Unten links KachelX 100127 KachelY + 1 99938 1.65818529 -1.19099277 95.007019 -68.238859
    Unten rechts KachelX + 1 100128 KachelY + 1 99938 1.65823323 -1.19099277 95.009766 -68.238859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19097500--1.19099277) × R
    1.77700000001391e-05 × 6371000     		dl = 113.212670000886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19097500--1.19099277) × R
    1.77700000001391e-05 × 6371000     		dr = 113.212670000886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65818529-1.65823323) × cos(-1.19097500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370754536006307 × 6371000     		do = 113.237978518009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65818529-1.65823323) × cos(-1.19099277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370738032399779 × 6371000     		du = 113.232937891772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19097500)-sin(-1.19099277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370754536006307-0.370738032399779)×R²
    abs(1.65823323-1.65818529)×1.65036065281621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65036065281621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65036065281621e-05×40589641000000     		ar = 12819.688562418m²