Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100126 / 101779
↖ ↑ ↗
← S 70.038410°
E 95.004273°		 ← 104.25 m → S 70.038410°
E 95.007019°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.039348°
E 95.004273°		 ← 104.24 m →
10 872 m²		 S 70.039348°
E 95.007019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763904571533203 y=0.776515960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763904571533203 × 217)
    floor (0.763904571533203 × 131072)
    floor (100126.5)     		tx = 100126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776515960693359 × 217)
    floor (0.776515960693359 × 131072)
    floor (101779.5)     		ty = 101779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100126 / 101779 ti = "17/100126/101779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100126/101779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100126 ÷ 217
    100126 ÷ 131072     		x = 0.763900756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101779 ÷ 217
    101779 ÷ 131072     		y = 0.776512145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763900756835938 × 2 - 1) × π
    0.527801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65813736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776512145996094 × 2 - 1) × π
    -0.553024291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7373770529297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65813736} λ = 1.65813736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7373770529297))-π/2
    2×atan(0.175981385642943)-π/2
    2×0.174197731302761-π/2
    0.348395462605522-1.57079632675     		φ = -1.22240086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65813736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.004273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22240086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.038410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100126 KachelY 101779 1.65813736 -1.22240086 95.004273 -70.038410
    Oben rechts KachelX + 1 100127 KachelY 101779 1.65818529 -1.22240086 95.007019 -70.038410
    Unten links KachelX 100126 KachelY + 1 101780 1.65813736 -1.22241723 95.004273 -70.039348
    Unten rechts KachelX + 1 100127 KachelY + 1 101780 1.65818529 -1.22241723 95.007019 -70.039348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22240086--1.22241723) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22240086--1.22241723) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65813736-1.65818529) × cos(-1.22240086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34139011199276 × 6371000     		do = 104.2475776201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65813736-1.65818529) × cos(-1.22241723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341374725428883 × 6371000     		du = 104.24287914772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22240086)-sin(-1.22241723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34139011199276-0.341374725428883)×R²
    abs(1.65818529-1.65813736)×1.53865638774509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53865638774509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53865638774509e-05×40589641000000     		ar = 10872.0757502198m²