Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100125 / 101663
↖ ↑ ↗
← S 69.929357°
E 95.001526°		 ← 104.82 m → S 69.929357°
E 95.004273°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.930300°
E 95.001526°		 ← 104.81 m →
10 985 m²		 S 69.930300°
E 95.004273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763896942138672 y=0.775630950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763896942138672 × 217)
    floor (0.763896942138672 × 131072)
    floor (100125.5)     		tx = 100125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775630950927734 × 217)
    floor (0.775630950927734 × 131072)
    floor (101663.5)     		ty = 101663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100125 / 101663 ti = "17/100125/101663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100125/101663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100125 ÷ 217
    100125 ÷ 131072     		x = 0.763893127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101663 ÷ 217
    101663 ÷ 131072     		y = 0.775627136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763893127441406 × 2 - 1) × π
    0.527786254882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65808942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775627136230469 × 2 - 1) × π
    -0.551254272460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73181637257377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65808942} λ = 1.65808942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73181637257377))-π/2
    2×atan(0.176962687702056)-π/2
    2×0.175149396185578-π/2
    0.350298792371156-1.57079632675     		φ = -1.22049753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65808942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.001526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22049753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.929357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100125 KachelY 101663 1.65808942 -1.22049753 95.001526 -69.929357
    Oben rechts KachelX + 1 100126 KachelY 101663 1.65813736 -1.22049753 95.004273 -69.929357
    Unten links KachelX 100125 KachelY + 1 101664 1.65808942 -1.22051398 95.001526 -69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 100126 KachelY + 1 101664 1.65813736 -1.22051398 95.004273 -69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22049753--1.22051398) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22049753--1.22051398) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65808942-1.65813736) × cos(-1.22049753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34317847370021 × 6371000     		do = 104.815539281889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65808942-1.65813736) × cos(-1.22051398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343163022658756 × 6371000     		du = 104.810820136119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22049753)-sin(-1.22051398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34317847370021-0.343163022658756)×R²
    abs(1.65813736-1.65808942)×1.54510414545062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54510414545062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54510414545062e-05×40589641000000     		ar = 10984.730432755m²