Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100124 / 101774
↖ ↑ ↗
← S 70.033722°
E 94.998779°		 ← 104.29 m → S 70.033722°
E 95.001526°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.034660°
E 94.998779°		 ← 104.29 m →
10 877 m²		 S 70.034660°
E 95.001526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763889312744141 y=0.776477813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763889312744141 × 217)
    floor (0.763889312744141 × 131072)
    floor (100124.5)     		tx = 100124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776477813720703 × 217)
    floor (0.776477813720703 × 131072)
    floor (101774.5)     		ty = 101774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100124 / 101774 ti = "17/100124/101774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100124/101774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100124 ÷ 217
    100124 ÷ 131072     		x = 0.763885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101774 ÷ 217
    101774 ÷ 131072     		y = 0.776473999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763885498046875 × 2 - 1) × π
    0.52777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65804148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776473999023438 × 2 - 1) × π
    -0.552947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73713736843159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65804148} λ = 1.65804148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73713736843159))-π/2
    2×atan(0.176023570708387)-π/2
    2×0.174238648869945-π/2
    0.34847729773989-1.57079632675     		φ = -1.22231903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65804148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.998779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22231903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.033722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100124 KachelY 101774 1.65804148 -1.22231903 94.998779 -70.033722
    Oben rechts KachelX + 1 100125 KachelY 101774 1.65808942 -1.22231903 95.001526 -70.033722
    Unten links KachelX 100124 KachelY + 1 101775 1.65804148 -1.22233540 94.998779 -70.034660
    Unten rechts KachelX + 1 100125 KachelY + 1 101775 1.65808942 -1.22233540 95.001526 -70.034660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22231903--1.22233540) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22231903--1.22233540) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65804148-1.65808942) × cos(-1.22231903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34146702464192 × 6371000     		do = 104.292818686788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65804148-1.65808942) × cos(-1.22233540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341451638535396 × 6371000     		du = 104.288119373817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22231903)-sin(-1.22233540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34146702464192-0.341451638535396)×R²
    abs(1.65808942-1.65804148)×1.53861065246841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53861065246841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53861065246841e-05×40589641000000     		ar = 10876.7940452527m²