Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100121 / 101653
↖ ↑ ↗
← S 69.919930°
E 94.990539°		 ← 104.86 m → S 69.919930°
E 94.993286°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.920873°
E 94.990539°		 ← 104.86 m →
10 996 m²		 S 69.920873°
E 94.993286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763866424560547 y=0.775554656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763866424560547 × 217)
    floor (0.763866424560547 × 131072)
    floor (100121.5)     		tx = 100121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775554656982422 × 217)
    floor (0.775554656982422 × 131072)
    floor (101653.5)     		ty = 101653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100121 / 101653 ti = "17/100121/101653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100121/101653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100121 ÷ 217
    100121 ÷ 131072     		x = 0.763862609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101653 ÷ 217
    101653 ÷ 131072     		y = 0.775550842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763862609863281 × 2 - 1) × π
    0.527725219726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.65789767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775550842285156 × 2 - 1) × π
    -0.551101684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73133700357757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65789767} λ = 1.65789767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73133700357757))-π/2
    2×atan(0.177047538463812)-π/2
    2×0.175231669265064-π/2
    0.350463338530129-1.57079632675     		φ = -1.22033299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65789767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.990539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22033299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.919930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100121 KachelY 101653 1.65789767 -1.22033299 94.990539 -69.919930
    Oben rechts KachelX + 1 100122 KachelY 101653 1.65794561 -1.22033299 94.993286 -69.919930
    Unten links KachelX 100121 KachelY + 1 101654 1.65789767 -1.22034945 94.990539 -69.920873
    Unten rechts KachelX + 1 100122 KachelY + 1 101654 1.65794561 -1.22034945 94.993286 -69.920873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22033299--1.22034945) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22033299--1.22034945) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65789767-1.65794561) × cos(-1.22033299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343333016575043 × 6371000     		do = 104.862740653796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65789767-1.65794561) × cos(-1.22034945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		du = 104.858018923168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22033299)-sin(-1.22034945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343333016575043-0.343317557070458)×R²
    abs(1.65794561-1.65789767)×1.54595045849248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54595045849248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54595045849248e-05×40589641000000     		ar = 10996.3577950185m²