Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100120 / 102008
↖ ↑ ↗
← S 70.252029°
E 94.987793°		 ← 103.18 m → S 70.252029°
E 94.990539°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.252957°
E 94.987793°		 ← 103.17 m →
10 649 m²		 S 70.252957°
E 94.990539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763858795166016 y=0.778263092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763858795166016 × 217)
    floor (0.763858795166016 × 131072)
    floor (100120.5)     		tx = 100120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778263092041016 × 217)
    floor (0.778263092041016 × 131072)
    floor (102008.5)     		ty = 102008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100120 / 102008 ti = "17/100120/102008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100120/102008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100120 ÷ 217
    100120 ÷ 131072     		x = 0.76385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102008 ÷ 217
    102008 ÷ 131072     		y = 0.77825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    0.5277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65784974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.5565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74835460294269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65784974} λ = 1.65784974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74835460294269))-π/2
    2×atan(0.174060105946539)-π/2
    2×0.172333556016397-π/2
    0.344667112032794-1.57079632675     		φ = -1.22612921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65784974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22612921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.252029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100120 KachelY 102008 1.65784974 -1.22612921 94.987793 -70.252029
    Oben rechts KachelX + 1 100121 KachelY 102008 1.65789767 -1.22612921 94.990539 -70.252029
    Unten links KachelX 100120 KachelY + 1 102009 1.65784974 -1.22614541 94.987793 -70.252957
    Unten rechts KachelX + 1 100121 KachelY + 1 102009 1.65789767 -1.22614541 94.990539 -70.252957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22612921--1.22614541) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22612921--1.22614541) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65784974-1.65789767) × cos(-1.22612921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337883390302675 × 6371000     		do = 103.17675796617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65784974-1.65789767) × cos(-1.22614541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337868143013055 × 6371000     		du = 103.17210202286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22612921)-sin(-1.22614541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337883390302675-0.337868143013055)×R²
    abs(1.65789767-1.65784974)×1.52472896197131e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52472896197131e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52472896197131e-05×40589641000000     		ar = 10648.6535548576m²