Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100120 / 101721
↖ ↑ ↗
← S 69.983955°
E 94.987793°		 ← 104.52 m → S 69.983955°
E 94.990539°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
S 69.984895°
E 94.987793°		 ← 104.52 m →
10 927 m²		 S 69.984895°
E 94.990539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763858795166016 y=0.776073455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763858795166016 × 217)
    floor (0.763858795166016 × 131072)
    floor (100120.5)     		tx = 100120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776073455810547 × 217)
    floor (0.776073455810547 × 131072)
    floor (101721.5)     		ty = 101721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100120 / 101721 ti = "17/100120/101721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100120/101721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100120 ÷ 217
    100120 ÷ 131072     		x = 0.76385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101721 ÷ 217
    101721 ÷ 131072     		y = 0.776069641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    0.5277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65784974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776069641113281 × 2 - 1) × π
    -0.552139282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73459671275173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65784974} λ = 1.65784974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73459671275173))-π/2
    2×atan(0.176471354584554)-π/2
    2×0.174672942212625-π/2
    0.349345884425251-1.57079632675     		φ = -1.22145044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65784974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22145044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.983955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100120 KachelY 101721 1.65784974 -1.22145044 94.987793 -69.983955
    Oben rechts KachelX + 1 100121 KachelY 101721 1.65789767 -1.22145044 94.990539 -69.983955
    Unten links KachelX 100120 KachelY + 1 101722 1.65784974 -1.22146685 94.987793 -69.984895
    Unten rechts KachelX + 1 100121 KachelY + 1 101722 1.65789767 -1.22146685 94.990539 -69.984895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22145044--1.22146685) × R
    1.64100000001888e-05 × 6371000     		dl = 104.548110001203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22145044--1.22146685) × R
    1.64100000001888e-05 × 6371000     		dr = 104.548110001203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65784974-1.65789767) × cos(-1.22145044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342283278046456 × 6371000     		do = 104.520316619384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65784974-1.65789767) × cos(-1.22146685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342267859216786 × 6371000     		du = 104.515608294256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22145044)-sin(-1.22146685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342283278046456-0.342267859216786)×R²
    abs(1.65789767-1.65784974)×1.54188296699886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54188296699886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54188296699886e-05×40589641000000     		ar = 10927.155436287m²