Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10012 / 2355
↖ ↑ ↗
← N 77.827957°
E 39.990234°		 ← 515.15 m → N 77.827957°
E 40.012207°		 →
↑
515.29 m
↓
↑
515.29 m
↓
N 77.823323°
E 39.990234°		 ← 515.34 m →
265 498 m²		 N 77.823323°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611114501953125 y=0.143768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611114501953125 × 214)
    floor (0.611114501953125 × 16384)
    floor (10012.5)     		tx = 10012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143768310546875 × 214)
    floor (0.143768310546875 × 16384)
    floor (2355.5)     		ty = 2355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10012 / 2355 ti = "14/10012/2355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10012/2355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10012 ÷ 214
    10012 ÷ 16384     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2355 ÷ 214
    2355 ÷ 16384     		y = 0.14373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14373779296875 × 2 - 1) × π
    0.7125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23846146465814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23846146465814))-π/2
    2×atan(9.37889042701491)-π/2
    2×1.46457521240243-π/2
    2.92915042480486-1.57079632675     		φ = 1.35835410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35835410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.827957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10012 KachelY 2355 0.69796126 1.35835410 39.990234 77.827957
    Oben rechts KachelX + 1 10013 KachelY 2355 0.69834475 1.35835410 40.012207 77.827957
    Unten links KachelX 10012 KachelY + 1 2356 0.69796126 1.35827322 39.990234 77.823323
    Unten rechts KachelX + 1 10013 KachelY + 1 2356 0.69834475 1.35827322 40.012207 77.823323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35835410-1.35827322) × R
    8.08799999998389e-05 × 6371000     		dl = 515.286479998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35835410-1.35827322) × R
    8.08799999998389e-05 × 6371000     		dr = 515.286479998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69834475) × cos(1.35835410) × R
    0.000383489999999931 × 0.210847849101568 × 6371000     		do = 515.146583364546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69834475) × cos(1.35827322) × R
    0.000383489999999931 × 0.210926910139841 × 6371000     		du = 515.339746462567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35835410)-sin(1.35827322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210847849101568-0.210926910139841)×R²
    abs(0.69834475-0.69796126)×7.90610382730705e-05×R²
    0.000383489999999931×7.90610382730705e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.90610382730705e-05×40589641000000     		ar = 265497.836935735m²