Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10012 / 14238
↖ ↑ ↗
← N 70.790525°
W125.002442°		 ← 200.98 m → N 70.790525°
W124.996948°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 70.788717°
W125.002442°		 ← 201 m →
40 401 m²		 N 70.788717°
W124.996948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152778625488281 y=0.217262268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152778625488281 × 216)
    floor (0.152778625488281 × 65536)
    floor (10012.5)     		tx = 10012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217262268066406 × 216)
    floor (0.217262268066406 × 65536)
    floor (14238.5)     		ty = 14238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10012 / 14238 ti = "16/10012/14238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10012/14238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10012 ÷ 216
    10012 ÷ 65536     		x = 0.15277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14238 ÷ 216
    14238 ÷ 65536     		y = 0.217254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.6944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.18170418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217254638671875 × 2 - 1) × π
    0.56549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77654149991928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18170418} λ = -2.18170418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77654149991928))-π/2
    2×atan(5.90938343300677)-π/2
    2×1.40316203293296-π/2
    2.80632406586591-1.57079632675     		φ = 1.23552774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18170418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.002442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23552774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.790525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10012 KachelY 14238 -2.18170418 1.23552774 -125.002442 70.790525
    Oben rechts KachelX + 1 10013 KachelY 14238 -2.18160830 1.23552774 -124.996948 70.790525
    Unten links KachelX 10012 KachelY + 1 14239 -2.18170418 1.23549619 -125.002442 70.788717
    Unten rechts KachelX + 1 10013 KachelY + 1 14239 -2.18160830 1.23549619 -124.996948 70.788717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23552774-1.23549619) × R
    3.15499999998803e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23552774-1.23549619) × R
    3.15499999998803e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18170418--2.18160830) × cos(1.23552774) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329022814150467 × 6371000     		do = 200.984072977446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18170418--2.18160830) × cos(1.23549619) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32905260734494 × 6371000     		du = 201.002272194384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23552774)-sin(1.23549619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329022814150467-0.32905260734494)×R²
    abs(-2.18160830--2.18170418)×2.97931944726049e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97931944726049e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97931944726049e-05×40589641000000     		ar = 40400.6427085111m²