Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10012 / 10465
↖ ↑ ↗
← S 44.606113°
E 39.990234°		 ← 1 739.45 m → S 44.606113°
E 40.012207°		 →
↑
1 739.28 m
↓
↑
1 739.28 m
↓
S 44.621754°
E 39.990234°		 ← 1 738.98 m →
3 024 988 m²		 S 44.621754°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611114501953125 y=0.638763427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611114501953125 × 214)
    floor (0.611114501953125 × 16384)
    floor (10012.5)     		tx = 10012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638763427734375 × 214)
    floor (0.638763427734375 × 16384)
    floor (10465.5)     		ty = 10465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10012 / 10465 ti = "14/10012/10465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10012/10465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10012 ÷ 214
    10012 ÷ 16384     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10465 ÷ 214
    10465 ÷ 16384     		y = 0.63873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.2774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.871684582691101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871684582691101))-π/2
    2×atan(0.418246384840005)-π/2
    2×0.396136396446772-π/2
    0.792272792893543-1.57079632675     		φ = -0.77852353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77852353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.606113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10012 KachelY 10465 0.69796126 -0.77852353 39.990234 -44.606113
    Oben rechts KachelX + 1 10013 KachelY 10465 0.69834475 -0.77852353 40.012207 -44.606113
    Unten links KachelX 10012 KachelY + 1 10466 0.69796126 -0.77879653 39.990234 -44.621754
    Unten rechts KachelX + 1 10013 KachelY + 1 10466 0.69834475 -0.77879653 40.012207 -44.621754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77852353--0.77879653) × R
    0.000273000000000079 × 6371000     		dl = 1739.2830000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77852353--0.77879653) × R
    0.000273000000000079 × 6371000     		dr = 1739.2830000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69834475) × cos(-0.77852353) × R
    0.000383489999999931 × 0.711951133716377 × 6371000     		do = 1739.44953965281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69834475) × cos(-0.77879653) × R
    0.000383489999999931 × 0.711759398668387 × 6371000     		du = 1738.98108974779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77852353)-sin(-0.77879653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711951133716377-0.711759398668387)×R²
    abs(0.69834475-0.69796126)×0.000191735047990527×R²
    0.000383489999999931×0.000191735047990527×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191735047990527×40589641000000     		ar = 3024987.64898643m²