Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100118 / 97051
↖ ↑ ↗
← S 65.103368°
E 94.982300°		 ← 128.58 m → S 65.103368°
E 94.985046°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.104524°
E 94.982300°		 ← 128.57 m →
16 531 m²		 S 65.104524°
E 94.985046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763843536376953 y=0.740444183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763843536376953 × 217)
    floor (0.763843536376953 × 131072)
    floor (100118.5)     		tx = 100118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740444183349609 × 217)
    floor (0.740444183349609 × 131072)
    floor (97051.5)     		ty = 97051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100118 / 97051 ti = "17/100118/97051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100118/97051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100118 ÷ 217
    100118 ÷ 131072     		x = 0.763839721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97051 ÷ 217
    97051 ÷ 131072     		y = 0.740440368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763839721679688 × 2 - 1) × π
    0.527679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65775386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740440368652344 × 2 - 1) × π
    -0.480880737304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51073139152607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65775386} λ = 1.65775386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51073139152607))-π/2
    2×atan(0.220748465345153)-π/2
    2×0.217264104749143-π/2
    0.434528209498286-1.57079632675     		φ = -1.13626812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65775386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13626812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.103368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100118 KachelY 97051 1.65775386 -1.13626812 94.982300 -65.103368
    Oben rechts KachelX + 1 100119 KachelY 97051 1.65780180 -1.13626812 94.985046 -65.103368
    Unten links KachelX 100118 KachelY + 1 97052 1.65775386 -1.13628830 94.982300 -65.104524
    Unten rechts KachelX + 1 100119 KachelY + 1 97052 1.65780180 -1.13628830 94.985046 -65.104524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13626812--1.13628830) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13626812--1.13628830) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65775386-1.65780180) × cos(-1.13626812) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.420982499358029 × 6371000     		do = 128.578891393987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65775386-1.65780180) × cos(-1.13628830) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.420964194624736 × 6371000     		du = 128.573300657275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13626812)-sin(-1.13628830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420982499358029-0.420964194624736)×R²
    abs(1.65780180-1.65775386)×1.83047332928954e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83047332928954e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83047332928954e-05×40589641000000     		ar = 16530.614651452m²