Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100118 / 102010
↖ ↑ ↗
← S 70.253885°
E 94.982300°		 ← 103.19 m → S 70.253885°
E 94.985046°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.254813°
E 94.982300°		 ← 103.18 m →
10 643 m²		 S 70.254813°
E 94.985046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763843536376953 y=0.778278350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763843536376953 × 217)
    floor (0.763843536376953 × 131072)
    floor (100118.5)     		tx = 100118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778278350830078 × 217)
    floor (0.778278350830078 × 131072)
    floor (102010.5)     		ty = 102010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100118 / 102010 ti = "17/100118/102010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100118/102010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100118 ÷ 217
    100118 ÷ 131072     		x = 0.763839721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102010 ÷ 217
    102010 ÷ 131072     		y = 0.778274536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763839721679688 × 2 - 1) × π
    0.527679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65775386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.556549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74845047674193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65775386} λ = 1.65775386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74845047674193))-π/2
    2×atan(0.174043418942822)-π/2
    2×0.172317359665202-π/2
    0.344634719330405-1.57079632675     		φ = -1.22616161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65775386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22616161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.253885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100118 KachelY 102010 1.65775386 -1.22616161 94.982300 -70.253885
    Oben rechts KachelX + 1 100119 KachelY 102010 1.65780180 -1.22616161 94.985046 -70.253885
    Unten links KachelX 100118 KachelY + 1 102011 1.65775386 -1.22617780 94.982300 -70.254813
    Unten rechts KachelX + 1 100119 KachelY + 1 102011 1.65780180 -1.22617780 94.985046 -70.254813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22616161--1.22617780) × R
    1.61900000001935e-05 × 6371000     		dl = 103.146490001233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22616161--1.22617780) × R
    1.61900000001935e-05 × 6371000     		dr = 103.146490001233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65775386-1.65780180) × cos(-1.22616161) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.337852895634765 × 6371000     		do = 103.188970660801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65775386-1.65780180) × cos(-1.22617780) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.337837657579853 × 6371000     		du = 103.184316566603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22616161)-sin(-1.22617780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337852895634765-0.337837657579853)×R²
    abs(1.65780180-1.65775386)×1.52380549122144e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.52380549122144e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.52380549122144e-05×40589641000000     		ar = 10643.3401040015m²