Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100117 / 97061
↖ ↑ ↗
← S 65.114928°
E 94.979553°		 ← 128.50 m → S 65.114928°
E 94.982300°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.116083°
E 94.979553°		 ← 128.49 m →
16 512 m²		 S 65.116083°
E 94.982300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763835906982422 y=0.740520477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763835906982422 × 217)
    floor (0.763835906982422 × 131072)
    floor (100117.5)     		tx = 100117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740520477294922 × 217)
    floor (0.740520477294922 × 131072)
    floor (97061.5)     		ty = 97061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100117 / 97061 ti = "17/100117/97061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100117/97061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100117 ÷ 217
    100117 ÷ 131072     		x = 0.763832092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97061 ÷ 217
    97061 ÷ 131072     		y = 0.740516662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763832092285156 × 2 - 1) × π
    0.527664184570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65770593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740516662597656 × 2 - 1) × π
    -0.481033325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51121076052227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65770593} λ = 1.65770593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51121076052227))-π/2
    2×atan(0.220642670734262)-π/2
    2×0.217163223704342-π/2
    0.434326447408684-1.57079632675     		φ = -1.13646988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65770593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.979553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13646988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.114928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100117 KachelY 97061 1.65770593 -1.13646988 94.979553 -65.114928
    Oben rechts KachelX + 1 100118 KachelY 97061 1.65775386 -1.13646988 94.982300 -65.114928
    Unten links KachelX 100117 KachelY + 1 97062 1.65770593 -1.13649005 94.979553 -65.116083
    Unten rechts KachelX + 1 100118 KachelY + 1 97062 1.65775386 -1.13649005 94.982300 -65.116083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13646988--1.13649005) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13646988--1.13649005) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65770593-1.65775386) × cos(-1.13646988) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.42079948059778 × 6371000     		do = 128.496183617767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65770593-1.65775386) × cos(-1.13649005) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.420781183222482 × 6371000     		du = 128.490596294102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13646988)-sin(-1.13649005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42079948059778-0.420781183222482)×R²
    abs(1.65775386-1.65770593)×1.82973752986815e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.82973752986815e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.82973752986815e-05×40589641000000     		ar = 16511.7950845761m²