Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100116 / 101821
↖ ↑ ↗
← S 70.077755°
E 94.976807°		 ← 104.07 m → S 70.077755°
E 94.979553°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.078691°
E 94.976807°		 ← 104.07 m →
10 834 m²		 S 70.078691°
E 94.979553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763828277587891 y=0.776836395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763828277587891 × 217)
    floor (0.763828277587891 × 131072)
    floor (100116.5)     		tx = 100116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776836395263672 × 217)
    floor (0.776836395263672 × 131072)
    floor (101821.5)     		ty = 101821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100116 / 101821 ti = "17/100116/101821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100116/101821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100116 ÷ 217
    100116 ÷ 131072     		x = 0.763824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101821 ÷ 217
    101821 ÷ 131072     		y = 0.776832580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763824462890625 × 2 - 1) × π
    0.52764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65765799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776832580566406 × 2 - 1) × π
    -0.553665161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.73939040271374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65765799} λ = 1.65765799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73939040271374))-π/2
    2×atan(0.175627429995992)-π/2
    2×0.173854387452513-π/2
    0.347708774905027-1.57079632675     		φ = -1.22308755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65765799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.976807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22308755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.077755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100116 KachelY 101821 1.65765799 -1.22308755 94.976807 -70.077755
    Oben rechts KachelX + 1 100117 KachelY 101821 1.65770593 -1.22308755 94.979553 -70.077755
    Unten links KachelX 100116 KachelY + 1 101822 1.65765799 -1.22310389 94.976807 -70.078691
    Unten rechts KachelX + 1 100117 KachelY + 1 101822 1.65770593 -1.22310389 94.979553 -70.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22308755--1.22310389) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22308755--1.22310389) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65765799-1.65770593) × cos(-1.22308755) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.340744596725138 × 6371000     		do = 104.072170606191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65765799-1.65770593) × cos(-1.22310389) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.340729234532213 × 6371000     		du = 104.067478597049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22308755)-sin(-1.22310389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340744596725138-0.340729234532213)×R²
    abs(1.65770593-1.65765799)×1.53621929243064e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.53621929243064e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.53621929243064e-05×40589641000000     		ar = 10833.8914505249m²