Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100115 / 101618
↖ ↑ ↗
← S 69.886899°
E 94.974060°		 ← 105.03 m → S 69.886899°
E 94.976807°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.887844°
E 94.974060°		 ← 105.02 m →
11 034 m²		 S 69.887844°
E 94.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763820648193359 y=0.775287628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763820648193359 × 217)
    floor (0.763820648193359 × 131072)
    floor (100115.5)     		tx = 100115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775287628173828 × 217)
    floor (0.775287628173828 × 131072)
    floor (101618.5)     		ty = 101618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100115 / 101618 ti = "17/100115/101618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100115/101618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100115 ÷ 217
    100115 ÷ 131072     		x = 0.763816833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101618 ÷ 217
    101618 ÷ 131072     		y = 0.775283813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763816833496094 × 2 - 1) × π
    0.527633666992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65761005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775283813476562 × 2 - 1) × π
    -0.550567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72965921209087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65761005} λ = 1.65761005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72965921209087))-π/2
    2×atan(0.17734483664903)-π/2
    2×0.175519916908005-π/2
    0.351039833816009-1.57079632675     		φ = -1.21975649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65761005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.974060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21975649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.886899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100115 KachelY 101618 1.65761005 -1.21975649 94.974060 -69.886899
    Oben rechts KachelX + 1 100116 KachelY 101618 1.65765799 -1.21975649 94.976807 -69.886899
    Unten links KachelX 100115 KachelY + 1 101619 1.65761005 -1.21977298 94.974060 -69.887844
    Unten rechts KachelX + 1 100116 KachelY + 1 101619 1.65765799 -1.21977298 94.976807 -69.887844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21975649--1.21977298) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21975649--1.21977298) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65761005-1.65765799) × cos(-1.21975649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343874416209443 × 6371000     		do = 105.028098037768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65761005-1.65765799) × cos(-1.21977298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343858931794666 × 6371000     		du = 105.023368698927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21975649)-sin(-1.21977298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343874416209443-0.343858931794666)×R²
    abs(1.65765799-1.65761005)×1.54844147764455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54844147764455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54844147764455e-05×40589641000000     		ar = 11033.7714409746m²