Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100114 / 98588
↖ ↑ ↗
← S 66.822196°
E 94.971314°		 ← 120.19 m → S 66.822196°
E 94.974060°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
S 66.823278°
E 94.971314°		 ← 120.18 m →
14 449 m²		 S 66.823278°
E 94.974060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763813018798828 y=0.752170562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763813018798828 × 217)
    floor (0.763813018798828 × 131072)
    floor (100114.5)     		tx = 100114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752170562744141 × 217)
    floor (0.752170562744141 × 131072)
    floor (98588.5)     		ty = 98588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100114 / 98588 ti = "17/100114/98588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100114/98588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100114 ÷ 217
    100114 ÷ 131072     		x = 0.763809204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98588 ÷ 217
    98588 ÷ 131072     		y = 0.752166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763809204101562 × 2 - 1) × π
    0.527618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65756212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.50433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5844104062421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65756212} λ = 1.65756212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5844104062421))-π/2
    2×atan(0.205068664685375)-π/2
    2×0.202264491422558-π/2
    0.404528982845115-1.57079632675     		φ = -1.16626734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65756212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.971314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16626734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.822196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100114 KachelY 98588 1.65756212 -1.16626734 94.971314 -66.822196
    Oben rechts KachelX + 1 100115 KachelY 98588 1.65761005 -1.16626734 94.974060 -66.822196
    Unten links KachelX 100114 KachelY + 1 98589 1.65756212 -1.16628621 94.971314 -66.823278
    Unten rechts KachelX + 1 100115 KachelY + 1 98589 1.65761005 -1.16628621 94.974060 -66.823278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16626734--1.16628621) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dl = 120.220769999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16626734--1.16628621) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dr = 120.220769999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65756212-1.65761005) × cos(-1.16626734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393585807313672 × 6371000     		do = 120.186161100565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65756212-1.65761005) × cos(-1.16628621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393568460281243 × 6371000     		du = 120.180863975528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16626734)-sin(-1.16628621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393585807313672-0.393568460281243)×R²
    abs(1.65761005-1.65756212)×1.73470324291158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73470324291158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73470324291158e-05×40589641000000     		ar = 14448.5544189227m²