Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100114 / 96788
↖ ↑ ↗
← S 64.797526°
E 94.971314°		 ← 130.03 m → S 64.797526°
E 94.974060°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
S 64.798696°
E 94.971314°		 ← 130.02 m →
16 908 m²		 S 64.798696°
E 94.974060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763813018798828 y=0.738437652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763813018798828 × 217)
    floor (0.763813018798828 × 131072)
    floor (100114.5)     		tx = 100114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738437652587891 × 217)
    floor (0.738437652587891 × 131072)
    floor (96788.5)     		ty = 96788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100114 / 96788 ti = "17/100114/96788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100114/96788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100114 ÷ 217
    100114 ÷ 131072     		x = 0.763809204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96788 ÷ 217
    96788 ÷ 131072     		y = 0.738433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763809204101562 × 2 - 1) × π
    0.527618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65756212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.47686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49812398692599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65756212} λ = 1.65756212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49812398692599))-π/2
    2×atan(0.223549148136662)-π/2
    2×0.21993307232781-π/2
    0.43986614465562-1.57079632675     		φ = -1.13093018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65756212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.971314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13093018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.797526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100114 KachelY 96788 1.65756212 -1.13093018 94.971314 -64.797526
    Oben rechts KachelX + 1 100115 KachelY 96788 1.65761005 -1.13093018 94.974060 -64.797526
    Unten links KachelX 100114 KachelY + 1 96789 1.65756212 -1.13095059 94.971314 -64.798696
    Unten rechts KachelX + 1 100115 KachelY + 1 96789 1.65761005 -1.13095059 94.974060 -64.798696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13093018--1.13095059) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13093018--1.13095059) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65756212-1.65761005) × cos(-1.13093018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425818357340706 × 6371000     		do = 130.028758008903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65756212-1.65761005) × cos(-1.13095059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425799890107092 × 6371000     		du = 130.023118816958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13093018)-sin(-1.13095059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425818357340706-0.425799890107092)×R²
    abs(1.65761005-1.65756212)×1.84672336135394e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84672336135394e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84672336135394e-05×40589641000000     		ar = 16907.5471273578m²