Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100111 / 98579
↖ ↑ ↗
← S 66.812465°
E 94.963073°		 ← 120.26 m → S 66.812465°
E 94.965820°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
S 66.813547°
E 94.963073°		 ← 120.25 m →
14 465 m²		 S 66.813547°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763790130615234 y=0.752101898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763790130615234 × 217)
    floor (0.763790130615234 × 131072)
    floor (100111.5)     		tx = 100111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752101898193359 × 217)
    floor (0.752101898193359 × 131072)
    floor (98579.5)     		ty = 98579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100111 / 98579 ti = "17/100111/98579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100111/98579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100111 ÷ 217
    100111 ÷ 131072     		x = 0.763786315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98579 ÷ 217
    98579 ÷ 131072     		y = 0.752098083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763786315917969 × 2 - 1) × π
    0.527572631835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65741830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752098083496094 × 2 - 1) × π
    -0.504196166992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58397897414552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65741830} λ = 1.65741830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58397897414552))-π/2
    2×atan(0.205157156977158)-π/2
    2×0.202349411035266-π/2
    0.404698822070533-1.57079632675     		φ = -1.16609750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65741830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.963073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16609750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.812465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100111 KachelY 98579 1.65741830 -1.16609750 94.963073 -66.812465
    Oben rechts KachelX + 1 100112 KachelY 98579 1.65746624 -1.16609750 94.965820 -66.812465
    Unten links KachelX 100111 KachelY + 1 98580 1.65741830 -1.16611638 94.963073 -66.813547
    Unten rechts KachelX + 1 100112 KachelY + 1 98580 1.65746624 -1.16611638 94.965820 -66.813547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16609750--1.16611638) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16609750--1.16611638) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65741830-1.65746624) × cos(-1.16609750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393741933490398 × 6371000     		do = 120.258921405257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65741830-1.65746624) × cos(-1.16611638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393724578527302 × 6371000     		du = 120.25362075281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16609750)-sin(-1.16611638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393741933490398-0.393724578527302)×R²
    abs(1.65746624-1.65741830)×1.73549630957948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73549630957948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73549630957948e-05×40589641000000     		ar = 14464.9630339358m²