Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100111 / 101638
↖ ↑ ↗
← S 69.905780°
E 94.963073°		 ← 104.93 m → S 69.905780°
E 94.965820°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
S 69.906724°
E 94.963073°		 ← 104.93 m →
11 010 m²		 S 69.906724°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763790130615234 y=0.775440216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763790130615234 × 217)
    floor (0.763790130615234 × 131072)
    floor (100111.5)     		tx = 100111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775440216064453 × 217)
    floor (0.775440216064453 × 131072)
    floor (101638.5)     		ty = 101638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100111 / 101638 ti = "17/100111/101638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100111/101638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100111 ÷ 217
    100111 ÷ 131072     		x = 0.763786315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101638 ÷ 217
    101638 ÷ 131072     		y = 0.775436401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763786315917969 × 2 - 1) × π
    0.527572631835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65741830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775436401367188 × 2 - 1) × π
    -0.550872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73061795008327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65741830} λ = 1.65741830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73061795008327))-π/2
    2×atan(0.17717489089612)-π/2
    2×0.17535514835783-π/2
    0.35071029671566-1.57079632675     		φ = -1.22008603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65741830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.963073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22008603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.905780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100111 KachelY 101638 1.65741830 -1.22008603 94.963073 -69.905780
    Oben rechts KachelX + 1 100112 KachelY 101638 1.65746624 -1.22008603 94.965820 -69.905780
    Unten links KachelX 100111 KachelY + 1 101639 1.65741830 -1.22010250 94.963073 -69.906724
    Unten rechts KachelX + 1 100112 KachelY + 1 101639 1.65746624 -1.22010250 94.965820 -69.906724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22008603--1.22010250) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22008603--1.22010250) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65741830-1.65746624) × cos(-1.22008603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		do = 104.933580413271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65741830-1.65746624) × cos(-1.22010250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343549486826979 × 6371000     		du = 104.928856240681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22008603)-sin(-1.22010250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343564954326834-0.343549486826979)×R²
    abs(1.65746624-1.65741830)×1.54674998550375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54674998550375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54674998550375e-05×40589641000000     		ar = 11010.4715639038m²